FC2ブログ

Welcome to my blog

[答468] 領域の体積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答468] 領域の体積


 xyz空間で、y2+z2≦1 ,z2+x2≦1 ,x2+y2≦1 のすべてを満たす領域の体積V は?


[解答1]

 この領域をと平面 z=t の共有部分は、

 x≦1-t2 ,y≦1-t2 ,x2+y2≦1 だから、

 その面積を S(t) とすれば、xy平面上の正方形の1辺は 2√(1-t2) に注意すると、

 1/√2≦t≦1 のとき、S(t)=4(1-t2) です。

 0≦t≦1/√2 のとき、図の赤○の角を f(t) とすれば、( f(t)=Sin-1t です)

  S(t)=4t√(1-t2)+(1/2){2π-8f(t)}=4t√(1-t2)+π-4f(t) です。

 V=∫-11 S(t)dt=2∫01 S(t)dt

 V/2=∫01/√2 {4t√(1-t2)+π-4f(t)}dt+∫1/√21 4(1-t2)dt

 ここで、

 ∫01/√2 4t√(1-t2)=-(4/3)[(1-t2)3/2]01/√2=-(4/3){1/(2√2)-1}=4/3-(√2)/3 、 

 ∫01/√2 πdt=π/√2 、

 t=sinθ (-π/2≦θ≦π/2) とおけば、dt=cosθdθ だから、

 -∫01/√2 4f(t)dt=-∫0π/4 4θcosθdθ=-[4θsinθ]0π/4+∫0π/4 4sinθdθ

  =-π/√2-[4cosθ]0π/4=-π/√2-2√2+4 、

 ∫1/√21 4(1-t2)dt=[4t-(4/3)t3]1/√21=4-4/3-2√2+(√2)/3 、

 となって、

 V/2=4/3-(√2)/3+π/√2-π/√2-2√2+4+4-4/3-2√2+(√2)/3=4(2-√2) 、

 V=8(2-√2) になります。


[解答2]

 この領域をと平面 z=t の共有部分は、

 x≦1-t2 ,y≦1-t2 ,x2+y2≦1 だから、

 その面積を S(t) とすれば、xy平面上の正方形の1辺は 2√(1-t2) に注意すると、

 1/√2≦t≦1 のとき、S(t)=4(1-t2) です。

 よって、この領域のうち、z≧1/√2 の部分の体積は、

 ∫1/√21 4(1-t2)dt=[4t-(4/3)t3]1/√21=4-4/3-2√2+(√2)/3=8/3-(5√2)/3 、

 |x|≧1/√2,|y|≧1/√2,|z|≧1/√2 の部分を全部合わせるとこれの6倍で、

 |x|<1/√2 かつ |y|<1/√2 かつ |z|<1/√2 の部分を合わせて、

 体積は、 6{8/3-(5√2)/3}+(√2)3=16-10√2+2√2=8(2-√2) になります。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
樹☆  
No title

おはようございます^^
月見草でしょうか。。優しい色合いがすてきです。
黄色い花って元気をもらうし、優しい気持ちにも
させてもらいますね。。ナイスです。樹

古い人  
No title

今日の花は月見草ですか其れとも待宵草ですか。

私は月見草と待宵草と混同して見分け方が分かりません泣き。

どちらにしても可愛くて綺麗ですね。

ナイス、

アキチャン  
No title

おはようございます。
良く観てますが、名前は・・(o^-^o)
ナイス!

Yasuko  
No title

お(~∇~* )ノ は(*~∇~*)ノ よっ( *~∇~)ノ
月見草かな?本当に待宵草にも似ていますね。
( ゚∀゚)アハハ八八どちらかしら?

ナイス!3個目デス

こっこちゃん  
No title

~~-v(* ̄・ ̄)。。o(コ)(ン)(ニ)(チ)(ワ)~

ツキミソウなのですね
名前の知らない人で有名で ごめんなさいね
優しそうな 花 ナイス

uch*n*an  
No title

この問題は,私はずっと以前,高校の頃?,に解いたことがありました。
すっかり忘れていましたが,解いているうちに記憶がよみがえってきました。
初見では,結構難しいと思います。
私の解法は[解答2]と同じでした。検算で[解答1]もやってみればよかったな。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしゃ...さっぱりわからなくてスルーでした...^^;
球よりも大きそうなことは...球は3方向だけでなく...あらゆる方向から見ても円だから...これを究極に削り取った姿のはずだからってことからなんとか想像できますが...それにしても...微積って武器は強力ね♪
こんなややこしげな立体の体積なんてのも計算できるんですものねぇ☆
ただ...フォルムの具体的イメージがつかめなきゃどうしようもないんですよね...?...Orz~

tsuyoshik1942  
No title

真っ当な手法では完全にお手上げでした。解答を読ませていただきましたが、そちらも素通りさせていただきました。

例によって、近似値を求め、そこから答を推量しました。
ただ、答にπが絡むものと勝手に思い込み、推量作業に手間取りました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
青空をバックに黄色の花が綺麗でした。
この前の合歓の花もそうでしたが、青空は花を引きたてます。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
待宵草と月見草、私もよく分からないのですが、
調べてみると、待宵草のことを月見草とも言うようです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
よく見る花ですね。空気のよくない所にも咲く強い花です。
名前は、待宵草または月見草でいいようです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
調べてみると、待宵草のことを月見草とも言うようです。
どちらにしても、黄色の花に元気をもらいました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
月見草または待宵草でいいようです。
仰る通り、優しそうな花ですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
解かれた方はみなさん[解答2]と同じ、[解答1]は誰もいませんでした。
[解答2]がいちばん楽だと思いますので、当然でしょう。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
具体的イメージがなくても、[解答1]のように切り口の面積を求めると
どうにかなります。積分は強力ですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
解答を見るだけではあまり分かったような気になりません。
自分でいろいろ考えるのが醍醐味ですね。

ひとりしずか  
No title

待宵草こちらでも早朝に見ます~
朝陽の当たった花びらが
生命輝かせているように見えます~
ナイス!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難うございます。
逞しく、しかも綺麗に咲いていました。
生命って不思議で美しいですね。

ニリンソウ  
No title

宵待草が綺麗なのは早朝なのでしょう
私が気が付く時は絵になりません。
お月様の色のようですね

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難うございます。
早朝ではありませんでしたが、綺麗に咲いていました。
月のような鮮やかな色でした。