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[答469] 6桁の平方数の上3桁

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答469] 6桁の平方数の上3桁


 6桁の平方数 3172,3182,3192,3202,3212,3222,……,9982,9992 を小さい順に並べ、

 100489,101124101761,102400,103041103684,……,996004,998001 のように、

 隣り合う数の上3桁が等しいものにアンダーラインをつけます。

 このとき、アンダーラインのついた最後の数は?


[解答]

 n=317,318,319,320,321,322,……,998,999 において、

 n2=(n-500+500)2=(n-500)2+1000(n-500)+250000=(n-500)2+1000n-250000 だから、

 n2 の 上3桁を an とすれば、 an=[(n-500)2/1000]+n-250 です。

 an-an-1={[(n-500)2/1000]+n-250}-{[(n-501)2/1000]+n-251}

  =[(n-500)2/1000]-[(n-501)2/1000]+1

 よって、n≧501 のとき、an-an-1≧1 になります。

 n≦500 のとき、an=an-1 とし、

 [(500-n)2/1000]+1=[(501-n)2/1000]=k とおきます。

 これを満たすのは、(501-n)2 が 1000k 以上の最小の平方数であればよいから、

 501-n=-[-√(1000k)] 、n=501+[-√(1000k)] です。

 従って、その最後のものは、 n=501+[-√1000]=501-32=469 ,n2=4692=219961 です。

 ちなみに、その前の組の後の方の数は、 n=501+[-√2000]=501-45=456 、n2=4562=207936 です。 


[参考]

 n≧501 のとき、an-an-1≧1 になり、an>an-1 です。

 n≦500 のとき、an-an-1=0 または 1 です。

 従って、3172=100489 から 5002=250000 までには、

 上3桁が 100 ~ 250 のすべての 151 種類になり、 317 ~ 500 は 184 個だから、

 33ヶ所でダブっていることになります。

 また、(n+2)2-n2=4(n+1)≧4(317+1)>1000 だから、

 3個が連続で、等しくなることはありません。

 従って、アンダーラインは 隣り合った 33組(66個)につくことになります。

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Comments 20

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pfw283ab0z03z00  
No title

nice

樹☆  
No title

おはようございます。

そうそうこの色の花、よく見かけます。

ところでやどかりさんはパッションフルーツ食されたこと
ありますよね。。あれトケイソウ科の果物だそうです^^
ナイスです。

Yasuko  
No title

(ヾ(´・ω・`)ノオハヨウ(o´_ _)o)ペコッございます♪
時計草~パッションフルーツ~スーパーで売ってますよ^-^
香りがよく甘酸っぱい味です(o^-^o) ウフッ

ナイス!

アキチャン  
No title

おはようございます。
綺麗な色ですね~(o^-^o)
こんな風にトンネルに這わせすとイイですね♪ナイス!

こっこちゃん  
No title

( ̄o  ̄;)オ( ̄0  ̄;)ハ( ̄、 ̄;)ヨ...ゴザイマス

こちらの庭にもこの花 時計草咲いていましたが
台風の影響で 後が咲きません ここで楽しませて頂きましたナイス

ニリンソウ  
No title

棚作りですね、植物園でしょうか!
白もいいけどこの色がトケイソウらしいかな。

ナイス

uch*n*an  
No title

これは,個人的には簡単でした。
私の解法も[解答]と原則同じですが,ご参考までに書いておきましょう。

a を 0 以上の整数とします。
(500 + a)^2 = 250000 + 1000a + a^2 で a が 1 増えると 1000 以上増えるので,不可。
(500 - a)^2 = 250000 - 1000a + a^2 で a が 1 増えると,- 1000a は 1000 小さくなるので,
a^2 > 1000 となる最初の a に対する (501 - a)^2 が求めるもので,この a は 32 です。
実際,(500 - 32)^2 = 468^2 = 219024,469^2 = 219961 となって,219961 になります。

uch*n*an  
No title

ちなみに,それ以外は,a^2 > 2000,a^2 > 3000,… となる a なので容易に求められます。
ただ,10000 = 100^2 など超えるべき値自体が平方数の場合は a = 100 などなのを忘れて
間違っていました。つまり,一般には a^2 >= 1000 の倍数,と等号が入ります。
すると,私の解法では,a(n) を 500 - a(n) が題意の小さい方から n 番目,として,
(500 - a(n))^2 と (501 - a(n))^2,a(n) = - [- √(1000(34 - n))],n = 1, 2, ..., 33
となります。[ ] の中に - を付けてさらに外にも - を付ける一見奇妙な式は,
この = が入る処理に対応しているんですね。
[解答]と比較すると,n <---> 501 - a(n),k <---> 34 - n,になっていますね。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これまでにも似た変形で考えるものがあったように思うのに...
途中からわからなくなってしまいました ^^;
学習能力乏し...Orz...
わたしには...uch*n*anさんの方法がわかりやすいかな☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
トケイソウも沢山咲く時期ですね。
貴殿も沢山見られていることでしょう。

ヤドカリ  
No title

pfw283ab0z03z00さん、初めまして。コメントを有難う御座います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
「パッションフルーツ=トケイソウ科の果物」は知りませんでした。
無知であることが自分自身よく分かりました。
ちなみに、無恥ではありません。念のため。笑

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
↑上に記した通りです。
今度、スーパーに行ったら、よぉ~~く見ておきます。

ヤドカリ  
No title

アキチャン早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このような所に咲かせるのもいいのですが、
トンネルの外に咲くと撮りにくいです。
撮れる場所に咲くいているのを期待して、何度か訪れました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
台風の後、咲かないのは寂しいですね。
ここで愉しんで頂ければ嬉しいことです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
はい、仰る通り、この方がトケイソウらしい馴染みある色です。
堺市の都市緑化センターで撮りました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
-[-○○] の意味まで解説頂き有難う御座います。
丁度のときの扱いは、
ceil関数も floor関数と同様に使えれば楽なのですが、
残念ながらパソコンに文字(記号)がなくて記事で扱えません。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
計算して絞っていけばできますので、そう難しくないと思います。
uch*n*anさんの解答も結局等価なものですので、記事にはしませんでした。

ひとりしずか  
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実物ホームセンターで小さな花を一度しかみたことがなくて・・
沢山咲いていると迫力ですね~
見れば見るほど不思議~

ナイス!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、沢山咲いていると迫力があります。
もっと沢山あれば、時計屋さんですね。