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[答471] 正二十面体の体積

ヤドカリ

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[答471] 正二十面体の体積


 図のように正八面体の各辺上の1点ずつを頂点とする正二十面体を作ることができます。

 さて、1辺が6の正二十面体の体積は?


[解答1]

 まず、正二十面体の1辺をa,もとの正八面体の1辺をbとすると、

 正二十面体の頂点は、1辺を a/√2 と b-a/√2 に分けることになります。

 余弦定理より、(b-a/√2)2+(a/√2)2-2(b-a/√2)(a/√2)cos60゚=a2

 簡単にして 2b2-(3√2)ab+a2=0 、(b√2-3a/2)2=5a2/4 、

 ここで、b-a/√2>a/√2 だから b√2>2a 、b√2-3a/2=(a√5)/2 、b=a(3+√5)/(2√2) です。

 また、1辺がbの正四角錐の体積をVとすれば、V=(1/3)b2・b/√2=b3/(3√2) です。

 次に、1つの頂点で取り除く部分の半分は、底面を直角二等辺三角形として、

 (1/3)(1/2)(a/√2)2・(b-a/√2)/√2=a2(b-a/√2)/(12√2) です。

 したがって、正二十面体の体積は、

 2・b3/(3√2)-12・a2(b-a/√2)/(12√2)

  =2a3(3+√5)3/(2√2)3/(3√2)-12・a2{a(3+√5)/(2√2)-a/√2}/(12√2)

  =a3(72+32√5)/48-a2{a(3+√5)/(2√2)-2a/(2√2)}/√2

  =a3(9+4√5)/6-a3(1+√5)/4=5(3+√5)a3/12

 本問では a=6 だから、正二十面体の体積=5(3+√5)・63/12=90(3+√5) になります。


[解答2]

 [解答1]のように、正二十面体の1辺をa,もとの正八面体の1辺をbとすると、b=a(3+√5)/(2√2) です。

 また、正八面体の1つの面の正三角形の3つの頂点と正八面体の中心を結ぶ正三角錐において、

 正三角形を底面とするときの高さをhとして、その体積を2通りの方法で表せば、

 {(√3)b2/4}h/3={(b/√2)2/2}(b/√2)/3 となって、h=b/√6 、

 これが 正八面体にも正二十面体に内接する球の半径だから、正二十面体の体積は、

 20(1/3){(√3)a2/4}h=(5/√3)a2(b/√6)=5a2b/(3√2)=5a3(3+√5)/(2√2)/(3√2)=5(3+√5)a3/12

 本問では a=6 だから、正二十面体の体積=5(3+√5)・63/12=90(3+√5) になります。


[解答3] uch*n*anさんの正八面体を用いない別解(検算用)より

 正二十面体の一辺の長さを a とし,

 正二十面体を,上から,正五角すい,正五角柱をねじった立体,正五角すい,に分けます。

 すると,正五角形の外接円の半径 r とすれば,a=2r・sin36゚ です。

 また,正五角柱をねじった立体の高さ h は,上下の正五角形の外接円の間の距離なので,

 h2=a2-(2r・sin18゚)2=(2r・sin36゚)2-(2r・sin18゚)2=4r2(sin236゚-sin218゚)

 ここで,正二十面体の外接球を考えると,その直径が 2r と h を辺とする長方形の対角線なので,

 半径を R として, (2R)2=(2r)2+h2=4r2(1+sin236゚-sin218゚)

 R2=r2(sin236゚+cos218゚)=r2(sin236゚+sin272゚)=r2sin236゚(1+4cos236゚)=4r2sin236゚(1/4+cos236゚)

  =a2{1/4+(1+cos72゚)/2}

 cos72゚=(√5-1)/4 を使って, R2=(5+√5)a2/8

 正二十面体の体積は,この外接球の中心と正二十面体の面の作る正三角錐 20 個分です。

 正三角形の重心と頂点の距離は,{(√3)a/2}(2/3)=a/√3 なので,

 正二十面体の体積=20(1/3){(√3)a2/4}√{R2-(a/√3)2}={(5√3)a2/3}√{(5+√5)a2/8-a2/3}

  =(5a3/12)√{6(5+√5)-16}=(5a3/12)√(14+2√45)=(5a3/12)(3+√5)=5(3+√5)a3/12

 この問題では a=6 なので,求める正二十面体の体積=5(3+√5)・63/12=90(3+√5) になります。


☆ 90(3+√5)=471.24611…… です。

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Comments 20

There are no comments yet.
ひとりしずか  
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リュウキュウトロロアオイですか?
優しい色ですね・・
ナイス!

アキチャン  
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おはようございます。
ほんと、お花、似ていますね(o^-^o)
この種のお花は大好きです♪ナイス!

ニリンソウ  
No title

昨日の親戚ですね、小ぶりなようです
朝晩涼しくなりました、ホッとしてると日中は夏日に
ゆっくり秋が進んでいます

ナイス

Yasuko  
No title

(ヾ(´・ω・`)ノオハヨウ(o´_ _)o)ペコッ
昨日と同じ花かしら?
良く似たお花が多いので一瞬綿の花かと思いましたわ(笑)

ナイス!4個目デス

uch*n*an  
No title

正二十面体の体積は以前に求めたことがありました。そのときの解法が(解法2)=[解答3]でした。
この問題で正八面体からの切り出しでできることを知り,その解法が(解法1)でしたが,
計算の仕方が若干違いますが,[解答1]とほぼ同じです。私の解法はこの二つまで。
なるほど,切り出しではなく,[解答2]のようにした方が少し計算が楽ですね。
いろいろと勉強になりました。

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」の道筋でゴールしました。
実際の計算では、辺長1の正8面体から切り出した時の正8面体の一辺を求めました。
この過程で寄道(答の計算には不用)し、正8面体の体積を求めたところ、「0.4714」と問題番号絡みの値が出てきて驚きました。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは手も足もでませんでした...^^;
わたしの能力を超えてる...^^
折り紙のお手玉のように奇麗な図を披露していただけただけで嬉や♪
Orz~☆

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この花は綿の花です。中央の色が濃いのが特徴です。
でも、オクラやトロロアオイとよく似た花ですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
綿の花です。アオイ科には、よく似た花がいろいろあるものですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
綿の花です。似たような花がいろいろあって面白いですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
似たような花がたくさんありますね。
淡い黄色の花は優しさを醸し出します。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
大きさは違っても、綿の花もトロロアオイの花もオクラの花も似ていますね。
ところで、日中はまだまだ暑いです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
一瞬思われた綿の花が正解です。
これは花の文化園で撮ったものですが、錦織公園にも咲いていましたよ。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私は小学生の時に正20面体を知り、展開図を書いてよく作りましたが、
ずいぶん後になって、読んでいた本にあった本問のような図を見て、
体積がこのように求められることに気づきました。
正多面体どうし密接な関係があるのですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
1辺が1の正8面体の体積も、471が絡んでいたのですね。
それには気づきませんでした。
おかげで、1辺が6の正20面体と1辺が10の正8面体の体積が
近い値であることが分かりました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
解答を読んで、このように求められることを理解して頂ければ十分です。

樹☆  
No title

綿の花ですか?白い綿になってからはみたことありますがこれが花とは。。。ありがとうございます。。

ヤドカリ  
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樹ちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
綿の実がこんな花からできるのも不思議ですね。

ひとりしずか  
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綿花ですか・・はじめて見ました~
綿からは想像できないですネ

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントを有難う御座います。
綿の花、確かに実からは想像できませんね。
薄い色が柔らかで好きな花の1つです。