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[答474] 正三角形の面積の総和

ヤドカリ

ヤドカリ



[答474] 正三角形の面積の総和


 図のように、1辺が 15cm の正三角形の頂点と辺上に 1cm 毎に全部で 45 個の点が配置されています。

 このうちの3点を頂点とする正三角形全部の面積の和は、1辺が 1cm の正三角形の面積の何倍?


[解答]

 一般化して、もとの正三角形の1辺を n(cm) とします。(点は全部で 3n 個です)

 また、Σは k=1,2,3,……,n-1 のときの和を表すことにします。

 1辺が 1cm の正三角形の面積を S(cm2),もとの正三角形の頂点を A,B,C とします。

 辺BC,CA,ABの途中の点をそれぞれP,Q,Rとします。

 まず、△ABC/S=n2 です。

 次に、△ARQが正三角形になるのは、AR=AQ=k (k=1,2,3,……,n-1) のときで、

 △ARQ/S=k2 ,Σ△ARQ/S=Σk2=(n-1)n(2n-1)/6 で、

 同様に、Σ△BPR/S=(n-1)n(2n-1)/6 ,Σ△CQP/S=(n-1)n(2n-1)/6 です。

 更に、△PQRが正三角形になるのは、BP=CQ=AR=k (k=1,2,3,……,n-1) のときで、

 PC=QA=RB=n-k になるから、△PQR/S=n2-3・k(n-k)=3k2-3nk+n2

 Σ△PQR/S=Σ(3k2-3nk+n2)=(n-1)n(2n-1)/2-3n・(n-1)n/2+n2(n-1)

  ={(2n-1)-3n+2n}(n-1)n/2=(n-1)2n/2
 
 したがって、全ての正三角形の面積の総和を T とすれば、

 T/S=n2+3・(n-1)n(2n-1)/6+(n-1)2n/2=n(3n2-3n+2)/2 です。

 本問は n=15 のときで、T/S=15(3・152-3・15+2)/2=4740 、4740倍です。

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Comments 18

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こっこちゃん  
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ヾ(^∇^)おはよー♪ございます。

今朝は 早起きでした

今日の花 朝顔とルコウソウの親戚のような花ですね” ナイス

古い人  
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今日の花はマル葉ルコウソウですか。

ヒルガオ科の花てすから形も朝顔に好く似ていますね。

琉球朝顔などにもねナイス。

Yasuko  
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(ヾ(´・ω・`)ノオハヨウ(o´_ _)o)ペコッ

ルコウソウのお花ですか?
色合いが好きです~ラッパみたい。.:♪*:・'(*⌒―⌒*)))

ナイス!1個目デス

uch*n*an  
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これは,以前に類題もあり復習という感じもあって簡単でしたね。
私の解法も[解答]と同じでした。

ニリンソウ  
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マルバルコウソウそちらでも輝いて咲いていますね
ナイス

スモークマン  
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グーテンターク ^^
格子点内の正方形の数を数える問題が他所でありましたよね ^^
斜めの正三角形の数え方は...上のようにすればいいのかぁ!!...
わたしゃ...そこでちとつまづいたり...^^;...Orz~

>AR=AP=k
は...
AR=AQ=k ですね ^^

樹☆  
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こんにちは^
すご~い!たくさん咲いていますね。絡んで絡んで・・
でも写し方で大きく見えるものですね。違う花かと思いました。
ナイスです

tsuyoshik1942  
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文字で解いて、一般式まで求めた方が恰好良かったですね!
4740を得て、一安心。リコメを拝見し、一般式を導く仕事が残っていると、その時は思ったのですが、サボりました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ルコウソウに花は似ていますが、葉は全然違います。
マルバルコウソウといいます。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
マルバルコウソウが沢山咲いていました。
アサガオを小さくしたような花で可愛いです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
葉が丸いので、マルバルコウソウです。
私は、ルコウソウより先にマルバルコウソウを知った記憶があります。

ヤドカリ  
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uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
以前に出題した問題の方が難しいと思います。
簡単な、息抜き問題ですね。

ヤドカリ  
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ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
マルバルコウソウがJRの線路のフェンスに絡まって沢山咲いていました。
貴女のブログでも拝見しました。

ヤドカリ  
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スモークマンさん、コメントとタイプミスの指摘を有難う御座います。
早速訂正しました。
斜めの三角形については、3隅を引くのが簡明だと思います。

ヤドカリ  
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樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
近づいて写しましたので、大きく見えたかも知れません。
ルコウソウにしろ、マルバルコウソウにしろ、小さい赤が可愛いですね。

ヤドカリ  
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tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
私はまず一般式を求めて、問題番号に合うようなnを求めます。
一般化は問題作りには必要不可欠です。

ひとりしずか  
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かわいらしい~
幼児のような可愛らしさ・・・ナイス!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
小さな赤い花ですので、言われてみれば、幼児や赤児を連想して当然ですね。