[答475] 垂心と辺の比
[答475] 垂心と辺の比
△ABC の垂心を H として、辺ABと直線CHの交点をD,辺ACと直線BHの交点をE とすれば、
AD:DB=29:96 ,AE:EC=5:24 になるとき、 △HBC の辺の比、HB:BC:CH=?
[解答]
AD=29a ,DB=96a ,AE=5b ,EC=24b とします。
CD2=BC2-BD2=AC2-AD2 だから、
BC2=BD2+AC2-AD2=(96a)2+(29b)2-(29a)2=8375a2+841b2 、
BE2=BC2-CE2=AB2-AE2 だから、
BC2=CE2+AB2-AE2=(24b)2+(125a)2-(5b)2=15625a2+551b2 、
よって、8375a2+841b2=15625a2+551b2 、290b2=7250a2 、b2=25a2 です。
AE=25a ,EC=120a 、BC2=8375a2+841b2=29400a2 になります。
CD2=BC2-BD2=29400a2-(96a)2=20184a2 、
BE2=BC2-CE2=29400a2-(120a)2=15000a2 、
従って、BE2:BC2:CD2=15000a2:29400a2:20184a2=625:1225:841 、
BE:BC:CD=25:35:29 になります。
次に、メネラウスの定理より、
(BH/HE)(EC/CA)(AD/DB)=1 だから、(BH/HE)(24/29)(29/96)=1 、BH/HE=4 、BH=(4/5)BE 、
(CH/HD)(DB/BA)(AE/EC)=1 だから、(CH/HD)(96/125)(5/24)=1 、CH/HD=25/4 、CH=(25/29)CD 、
よって、HB:BC:CH=25・4/5:35:29・25/29=20:35:25=4:7:5 です。
[解答2]
AD=29a ,DB=96a ,AE=5b ,EC=24b とします。
D,E は BCを直径とする円周上にあるから、方べきの定理より、
AD・AB=AE・AC 、29a・125a=5b・29b 、b=5a になり、AE=25a ,EC=120a になります。
従って、
BE=√(AB2-AE2)=√{(125a)2-(25a)2}=50a√6 、
BC=√(BE2+EC2)=√{(50a√6)2+(120a)2}=70a√6 です。
ここで、
△BHD∽△BAE より BH:BA=BD:BE 、BH:125a=96a:50a√6 、BH=40a√6 、
△CHE∽△BAE より CH:BA=CE:BE 、CH:125a=120a:50a√6 、CH=50a√6 、
よって、HB:BC:CH=40a√6:70a√6:50a√6=4:7:5 です。
[解答3]
メネラウスの定理より、
(CH/HD)(DB/BA)(AE/EC)=1 だから、(CH/HD)(96/125)(5/24)=1 、CH/HD=25/4 、
(BH/HE)(EC/CA)(AD/DB)=1 だから、(BH/HE)(24/29)(29/96)=1 、BH/HE=4 、
よって、CH=25a ,HD=4a ,BH=4b ,HE=b とおくことができます。
また、D,E は BCを直径とする円周上にあるから、方べきの定理より、
HC・HD=HB・HE 、25a・4a=4b・b 、b=5a になり、BH=20a ,HE=5a になります。
BC2=CD2+DB2=CD2+BH2-HD2=(25a+4a)2+(20a)2-(4a)2=1225a2 、 BC=35a です。
よって、HB:BC:CH=20a:35a:25a=4:7:5 です。
[解答4] 座標を使うと
メネラウスの定理より、
(CH/HD)(DB/BA)(AE/EC)=1 だから、(CH/HD)(96/125)(5/24)=1 、CH/HD=25/4 、
(BH/HE)(EC/CA)(AD/DB)=1 だから、(BH/HE)(24/29)(29/96)=1 、BH/HE=4 、
D は CH を 29:4 に、E は BH を 5:1 に、それぞれ外分する点になります。
a>0 として、B(-a,0),C(a,0),H(p,q) とおけば、D((29p-4a)/25,29q/25),E((5p+a)/4,5q/4) です。
D,E 円 x2+y2=a2 上にあるから、
(29p-4a)2/625+(29q2)/625=a2 ,(5p+a)2/16+(5q)2/16=a2 、
(29p-4a)2+(29q2)=625a2 ,(5p+a)2+(5q)2=16a2 、
29(p2+q2)-8ap=21a2 ,5(p2+q2)+2ap=3a2 、
これを解けば、p2+q2=33a2/49 ,p=-9a/49 です。
HB=√{(p+a)2+q2}=√(p2+q2+2ap+a2)=√(33a2/49-18a2/49+a2)=8a/7 、
HC=√{(p-a)2+q2}=√(p2+q2-2ap+a2)=√(33a2/49+18a2/49+a2)=10a/7 、
よって、HB:BC:CH=8a/7:2a:10a/7=4:7:5 です。
[解答5] たけちゃんさんの解答より(詳しく書きました)
∠CAB=A,∠ABC=B,∠BCA=C と書くことにします。
垂心が内部より,△ABCは鋭角三角形で,
tanB:tanA=(DC/BD):(DC/AD)=AD:BD=29:96 ,
tanC:tanA=(EB/CE):(EB/AE)=AE:CE=5:24=20:96 。
従って,tanA=96k,tanB=29k,tanC=20kとおけます。
次に,A=π-B-C だから,tanA=-tan(B+C)=-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC) ,
tanA(1-tanBtanC)=-(tanB+tanC) ,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,
96k+29k+20k=96k・29k・20k ,145=96・29・20k2 ,k2=1/384を得ます。
HB2:BC2:CH2=sin2∠BCH:sin2∠BHC:sin2∠CBH=cos2B:sin2A:cos2C
=1/(1+tan2B):1/(1+1/tan2A):1/(1+tan2C)=1/(1+292/384):1/(1+384/962):1/(1+202/384)
=384/(384+292):962/(962+384):384/(384+202)=1/1225:24/9600:1/784=1/1225:1/400:1/784
HB:BC:CH=1/35:1/20:1/28=4:7:5 です。
.