FC2ブログ

Welcome to my blog

[答475] 垂心と辺の比

ヤドカリ

ヤドカリ



[答475] 垂心と辺の比


 △ABC の垂心を H として、辺ABと直線CHの交点をD,辺ACと直線BHの交点をE とすれば、

 AD:DB=29:96 ,AE:EC=5:24 になるとき、 △HBC の辺の比、HB:BC:CH=?


[解答]

 AD=29a ,DB=96a ,AE=5b ,EC=24b とします。

 CD2=BC2-BD2=AC2-AD2 だから、

 BC2=BD2+AC2-AD2=(96a)2+(29b)2-(29a)2=8375a2+841b2

 BE2=BC2-CE2=AB2-AE2 だから、

 BC2=CE2+AB2-AE2=(24b)2+(125a)2-(5b)2=15625a2+551b2

 よって、8375a2+841b2=15625a2+551b2 、290b2=7250a2 、b2=25a2 です。

 AE=25a ,EC=120a 、BC2=8375a2+841b2=29400a2 になります。

 CD2=BC2-BD2=29400a2-(96a)2=20184a2

 BE2=BC2-CE2=29400a2-(120a)2=15000a2

 従って、BE2:BC2:CD2=15000a2:29400a2:20184a2=625:1225:841 、

 BE:BC:CD=25:35:29 になります。

 次に、メネラウスの定理より、

 (BH/HE)(EC/CA)(AD/DB)=1 だから、(BH/HE)(24/29)(29/96)=1 、BH/HE=4 、BH=(4/5)BE 、

 (CH/HD)(DB/BA)(AE/EC)=1 だから、(CH/HD)(96/125)(5/24)=1 、CH/HD=25/4 、CH=(25/29)CD 、

 よって、HB:BC:CH=25・4/5:35:29・25/29=20:35:25=4:7:5 です。


[解答2]

 AD=29a ,DB=96a ,AE=5b ,EC=24b とします。

 D,E は BCを直径とする円周上にあるから、方べきの定理より、

 AD・AB=AE・AC 、29a・125a=5b・29b 、b=5a になり、AE=25a ,EC=120a になります。

 従って、

 BE=√(AB2-AE2)=√{(125a)2-(25a)2}=50a√6 、

 BC=√(BE2+EC2)=√{(50a√6)2+(120a)2}=70a√6 です。

 ここで、

 △BHD∽△BAE より BH:BA=BD:BE 、BH:125a=96a:50a√6 、BH=40a√6 、

 △CHE∽△BAE より CH:BA=CE:BE 、CH:125a=120a:50a√6 、CH=50a√6 、

 よって、HB:BC:CH=40a√6:70a√6:50a√6=4:7:5 です。


[解答3]

 メネラウスの定理より、

 (CH/HD)(DB/BA)(AE/EC)=1 だから、(CH/HD)(96/125)(5/24)=1 、CH/HD=25/4 、

 (BH/HE)(EC/CA)(AD/DB)=1 だから、(BH/HE)(24/29)(29/96)=1 、BH/HE=4 、

 よって、CH=25a ,HD=4a ,BH=4b ,HE=b とおくことができます。

 また、D,E は BCを直径とする円周上にあるから、方べきの定理より、

 HC・HD=HB・HE 、25a・4a=4b・b 、b=5a になり、BH=20a ,HE=5a になります。

 BC2=CD2+DB2=CD2+BH2-HD2=(25a+4a)2+(20a)2-(4a)2=1225a2 、 BC=35a です。

 よって、HB:BC:CH=20a:35a:25a=4:7:5 です。


[解答4] 座標を使うと

 メネラウスの定理より、

 (CH/HD)(DB/BA)(AE/EC)=1 だから、(CH/HD)(96/125)(5/24)=1 、CH/HD=25/4 、

 (BH/HE)(EC/CA)(AD/DB)=1 だから、(BH/HE)(24/29)(29/96)=1 、BH/HE=4 、

 D は CH を 29:4 に、E は BH を 5:1 に、それぞれ外分する点になります。

 a>0 として、B(-a,0),C(a,0),H(p,q) とおけば、D((29p-4a)/25,29q/25),E((5p+a)/4,5q/4) です。

 D,E 円 x2+y2=a2 上にあるから、

 (29p-4a)2/625+(29q2)/625=a2 ,(5p+a)2/16+(5q)2/16=a2

 (29p-4a)2+(29q2)=625a2 ,(5p+a)2+(5q)2=16a2

 29(p2+q2)-8ap=21a2 ,5(p2+q2)+2ap=3a2

 これを解けば、p2+q2=33a2/49 ,p=-9a/49 です。

 HB=√{(p+a)2+q2}=√(p2+q2+2ap+a2)=√(33a2/49-18a2/49+a2)=8a/7 、

 HC=√{(p-a)2+q2}=√(p2+q2-2ap+a2)=√(33a2/49+18a2/49+a2)=10a/7 、

 よって、HB:BC:CH=8a/7:2a:10a/7=4:7:5 です。


[解答5] たけちゃんさんの解答より(詳しく書きました)

 ∠CAB=A,∠ABC=B,∠BCA=C と書くことにします。

 垂心が内部より,△ABCは鋭角三角形で,

 tanB:tanA=(DC/BD):(DC/AD)=AD:BD=29:96 ,

 tanC:tanA=(EB/CE):(EB/AE)=AE:CE=5:24=20:96 。

 従って,tanA=96k,tanB=29k,tanC=20kとおけます。

 次に,A=π-B-C だから,tanA=-tan(B+C)=-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC) ,

 tanA(1-tanBtanC)=-(tanB+tanC) ,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,

 96k+29k+20k=96k・29k・20k ,145=96・29・20k2 ,k2=1/384を得ます。

 HB2:BC2:CH2=sin2∠BCH:sin2∠BHC:sin2∠CBH=cos2B:sin2A:cos2C

  =1/(1+tan2B):1/(1+1/tan2A):1/(1+tan2C)=1/(1+292/384):1/(1+384/962):1/(1+202/384)

  =384/(384+292):962/(962+384):384/(384+202)=1/1225:24/9600:1/784=1/1225:1/400:1/784

 HB:BC:CH=1/35:1/20:1/28=4:7:5 です。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
古い人  
No title

今日の花はカノコユリですね。

ユリの仲間では一番綺麗ですね。

土曜ユリとか七夕ユリとも呼びますね。

ナイス。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
解法2は鮮やかね☆
気づけなかったわたしの頭を叩いてみても無知蒙昧の音がするのみ...^^;
面白い問題でしたねぇ♪

こっこちゃん  
No title

ヾ(@⌒ー⌒@)ノおはようございます

今日は大好きな百合 カノコユリですね
この花 可愛いですよね 自分にない奥ゆかしさを感じるので
好きです (笑) ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
歩く姿を想像して、見習わないと・・(笑)
表現があって、綺麗ですね♪ナイス!

Yasuko  
No title

:*・゚☆.。.:*・゚£(。・"・)o[†Good MORNING†]o(・"・。)β。.:*・゚☆.。.:*・
やはりユリは華やかですねぇ~つД`)・゚・。・゚゚・*:.。..。.:*・゚
好きなお花です(⌒~⌒)ニンマリ

ナイス!

uch*n*an  
No title

これは,考え方自体は大して難しくないのですが,うまくやらないと計算が大変な問題でした。
個人的には,こういう問題は,数値のまま計算すると余計な計算が煩雑になり見通しも悪いので,
文字式で計算することが多いです。今回も最初からそうしました。
私の解法は五つ。
(解法1)は,文字式以外は[解答]=[解答1]?と同じです。
(解法2)は,余弦定理を使う解法です。ご参考までに書いておきましょう。
(解法3)は,チェバの定理を使う解法です。ただし,若干一般性に欠ける解法です。
(解法4)は,(解法2)で初等幾何だけで解く解法で,少し[解答3]に近くなっています。
(解法5)は,(解法3)と同様にチェバの定理を使う解法ですが,より一般的になっています。
[解答2]と同様の解法は(解法2)の時点で気付いてはいましたが,特にはまとめませんでした。
[解答4]はそれなりに自然な気もしますが,[解答5]は基本方針は分かるものの何かすごいですね。

uch*n*an  
No title

(解法2)
AD:DB = a:b,AE:EC = c:d,それぞれの比例定数を x,y とすると,
AD = ax,DB = bx,AE = cy,EC = dy と書けます。
△ABE ∽ △ACD より,AB:AE = AC;AD,a(a + b)x^2 = c(c + d)y^2
△BHD ∽ △CHE より,HB:HC = BD;CE = bx:dy
ここで,比を考えるので,
改めて,HB = bx,CH = dy,x^2 = c(c + d),y^2 = a(a + b),として十分です。
さらに,∠DAE + ∠DHE = 180°なので,
cos(∠BHC) = cos(∠DHE) = - cos(∠DAE) = - cos(∠DAC) = - ax/(c + d)y
がいえるので,余弦定理を使って,

uch*n*an  
No title

BC^2 = HB^2 + HC^2 - 2 * HB * HC * cos(∠BHC)
= (bx)^2 + (dy)^2 - 2(bx)(dy)(- ax/(c + d)y)
= b^2x^2 + d^2y^2 + 2abd/(c + d) * x^2
= b^2c(c + d) + d^2a(a + b) + 2abd/(c + d) * c(c + d)
= (bc)^2 + (bc)(bd) + (ad)^2 + (ad)(bd) + 2(ad)(bc)
= (bc + ad)((bc + ad) + bd)
これより,
HB:BC:CH = b√(c(c + d)):√((bc + ad)((bc + ad) + bd)):d√(a(a + b))
となります。

uch*n*an  
No title

この問題では,a = 29,b = 96,c = 5,d = 24 なので,
HB:BC:CH
= 96√(5(5 + 24)):√((96 * 5 + 29 * 24)((96 * 5 + 29 * 24) + 96 * 24))):24√(29(29 + 96))
= 96√(5 * 29):√(24 * 49 * 24 * 145):24√(29 * 125)
= (4 * 24√5):(7 * 24√5):(5 * 24√5)
= 4:7:5
になります。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、カノコユリです。
夏の逞しさとともに品のある色や姿がいいですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私も百合の仲間では綺麗と思います。
清楚な白百合にも魅力を感じますが……。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
与えられた比どうしの長さの比が方べきの定理で見事に出るのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
貴女もよくブログにカノコユリの写真を使っておられましたね。
奥ゆかしさについては、貴女本人にお会いしていませんので分かりませんが、
謙遜と解釈しています。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
歩く姿によく例えられますね。
この言葉、改めて言われてみると、どんな姿なのかなぁと疑問に感じます。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
これも花の文化園で見ました。
百合の季節が終わりに近いのに、綺麗に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、長いコメントと解答を有難う御座います。
このような図形の問題は、よく正弦定理・余弦定理を使いますので、
sin,cos は見なれていますが、tan は珍しいですので、
また、私には思いつかない解答でもあり、
[解答5]として紹介しました。

たけちゃん  
No title

私の解答も紹介いただき,ありがとうございました.

[解答2]あたりと比べると,きれいな解法とは言い難いですが,
(i) 与えられた比が直接に表すのはtanの比と見られること,
(ii) tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC はそこそこ有用な関係式である(と私は思っている)こと
から,真っ先に思いついたこの解答で応募しました.

図形の問題は,計算のルーチンに乗せるまでが面白いですが,
その部分の巧拙が,計算量に及ぼす影響も大きいことを,
改めて感じさせられました.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
このような図形の問題で tan を使うこと自体、珍しいと思い、
勝手に紹介させて頂きました。
こんな発想もあるのかと、勉強になりました。

uch*n*an  
No title

えと,私なりのたけちゃんさんの[解答5]の基本的な方針は,
HB:BC:HC は △HBC の正弦定理で求まること,sin は tan から求まること,
tan 同士の比は容易に求まること,にあるように思いました。
ただ,公式を知らない私には,tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC は思い付かないので,
多分,tan を求めるのに,結局,[解答1]~[解答3]のようなことをすることになりそうで,
tan を使うのはあまり意味がなくなってしまいそうです。
したがって,私も思い付くことのなさそうな解法だと思います。
tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC の公式が使えるかどうかが分かれ目かも知れません。
その意味では,面白い解法ですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
> その意味では,面白い解法ですね。
私もそう思って紹介しました。