[答475] 垂心と辺の比

[答475] 垂心と辺の比


　△ABC の垂心を H として、辺ABと直線CHの交点をD，辺ACと直線BHの交点をE とすれば、

　AD：DB＝29：96 ，AE：EC＝5：24 になるとき、 △HBC の辺の比、HB：BC：CH＝？


[解答]

　AD＝29a ，DB＝96a ，AE＝5b ，EC＝24b とします。

　CD²＝BC²－BD²＝AC²－AD² だから、

　BC²＝BD²＋AC²－AD²＝(96a)²＋(29b)²－(29a)²＝8375a²＋841b² 、

　BE²＝BC²－CE²＝AB²－AE² だから、

　BC²＝CE²＋AB²－AE²＝(24b)²＋(125a)²－(5b)²＝15625a²＋551b² 、

　よって、8375a²＋841b²＝15625a²＋551b² 、290b²＝7250a² 、b²＝25a² です。

　AE＝25a ，EC＝120a 、BC²＝8375a²＋841b²＝29400a² になります。

　CD²＝BC²－BD²＝29400a²－(96a)²＝20184a² 、

　BE²＝BC²－CE²＝29400a²－(120a)²＝15000a² 、

　従って、BE²：BC²：CD²＝15000a²：29400a²：20184a²＝625：1225：841 、

　BE：BC：CD＝25：35：29 になります。

　次に、メネラウスの定理より、

　(BH/HE)(EC/CA)(AD/DB)＝1 だから、(BH/HE)(24/29)(29/96)＝1 、BH/HE＝4 、BH＝(4/5)BE 、

　(CH/HD)(DB/BA)(AE/EC)＝1 だから、(CH/HD)(96/125)(5/24)＝1 、CH/HD＝25/4 、CH＝(25/29)CD 、

　よって、HB：BC：CH＝25･4/5：35：29･25/29＝20：35：25＝4：7：5 です。


[解答2]

　AD＝29a ，DB＝96a ，AE＝5b ，EC＝24b とします。

　D，E は BCを直径とする円周上にあるから、方べきの定理より、

　AD･AB＝AE･AC 、29a･125a＝5b･29b 、b＝5a になり、AE＝25a ，EC＝120a になります。

　従って、

　BE＝√(AB²－AE²)＝√{(125a)²－(25a)²}＝50a√6 、

　BC＝√(BE²＋EC²)＝√{(50a√6)²＋(120a)²}＝70a√6 です。

　ここで、

　△BHD∽△BAE より BH：BA＝BD：BE 、BH：125a＝96a：50a√6 、BH＝40a√6 、

　△CHE∽△BAE より CH：BA＝CE：BE 、CH：125a＝120a：50a√6 、CH＝50a√6 、

　よって、HB：BC：CH＝40a√6：70a√6：50a√6＝4：7：5 です。


[解答3]

　メネラウスの定理より、

　(CH/HD)(DB/BA)(AE/EC)＝1 だから、(CH/HD)(96/125)(5/24)＝1 、CH/HD＝25/4 、

　(BH/HE)(EC/CA)(AD/DB)＝1 だから、(BH/HE)(24/29)(29/96)＝1 、BH/HE＝4 、

　よって、CH＝25a ，HD＝4a ，BH＝4b ，HE＝b とおくことができます。

　また、D，E は BCを直径とする円周上にあるから、方べきの定理より、

　HC･HD＝HB･HE 、25a･4a＝4b･b 、b＝5a になり、BH＝20a ，HE＝5a になります。

　BC²＝CD²＋DB²＝CD²＋BH²－HD²＝(25a＋4a)²＋(20a)²－(4a)²＝1225a² 、 BC＝35a です。

　よって、HB：BC：CH＝20a：35a：25a＝4：7：5 です。


[解答4] 座標を使うと

　メネラウスの定理より、

　(CH/HD)(DB/BA)(AE/EC)＝1 だから、(CH/HD)(96/125)(5/24)＝1 、CH/HD＝25/4 、

　(BH/HE)(EC/CA)(AD/DB)＝1 だから、(BH/HE)(24/29)(29/96)＝1 、BH/HE＝4 、

　D は CH を 29：4 に、E は BH を 5：1 に、それぞれ外分する点になります。

　a＞0 として、B(－a，0)，C(a，0)，H(p，q) とおけば、D((29p－4a)/25，29q/25)，E((5p＋a)/4，5q/4) です。

　D，E 円 x²＋y²＝a² 上にあるから、

　(29p－4a)²/625＋(29q²)/625＝a² ，(5p＋a)²/16＋(5q)²/16＝a² 、

　(29p－4a)²＋(29q²)＝625a² ，(5p＋a)²＋(5q)²＝16a² 、

　29(p²＋q²)－8ap＝21a² ，5(p²＋q²)＋2ap＝3a² 、

　これを解けば、p²＋q²＝33a²/49 ，p＝－9a/49 です。

　HB＝√{(p＋a)²＋q²}＝√(p²＋q²＋2ap＋a²)＝√(33a²/49－18a²/49＋a²)＝8a/7 、

　HC＝√{(p－a)²＋q²}＝√(p²＋q²－2ap＋a²)＝√(33a²/49＋18a²/49＋a²)＝10a/7 、

　よって、HB：BC：CH＝8a/7：2a：10a/7＝4：7：5 です。


[解答5] たけちゃんさんの解答より(詳しく書きました)

　∠CAB＝A，∠ABC＝B，∠BCA＝C と書くことにします。

　垂心が内部より，△ABCは鋭角三角形で，

　tanB：tanA＝(DC/BD)：(DC/AD)＝AD：BD＝29：96 ，

　tanC：tanA＝(EB/CE)：(EB/AE)＝AE：CE＝5：24＝20：96 。

　従って，tanA＝96k，tanB＝29k，tanC＝20kとおけます。

　次に，A＝π－B－C だから，tanA＝－tan(B＋C)＝－(tanB＋tanC)/(1－tanBtanC) ，

　tanA(1－tanBtanC)＝－(tanB＋tanC) ，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC ，

　96k＋29k＋20k＝96k･29k･20k ，145＝96･29･20k² ，k²＝1/384を得ます。

　HB²：BC²：CH²＝sin²∠BCH：sin²∠BHC：sin²∠CBH＝cos²B：sin²A：cos²C

　 ＝1/(1＋tan²B)：1/(1＋1/tan²A)：1/(1＋tan²C)＝1/(1＋29²/384)：1/(1＋384/96²)：1/(1＋20²/384)

　 ＝384/(384＋29²)：96²/(96²＋384)：384/(384＋20²)＝1/1225：24/9600：1/784＝1/1225：1/400：1/784

　HB：BC：CH＝1/35：1/20：1/28＝4：7：5 です。

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