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ネットで話題の式

ヤドカリ

ヤドカリ


ネットで話題の式というのは、『 6÷2(1+2)= 』です。
発端は、この誰でも解けそうな問題を台湾のfacebookコミュニティでの出題があって、
多くの人が『1』と解答したそうです。
それに対して、正解を『9』とし、342万人が解答し正解者は半分以下の149万人で、
「大勢の人が、小学生レベルの問題が解けない」として話題となったそうです。
これに対し、「この式自体がおかしい」という反論が出て議論となったらしいです。
日本でも多くの人がネット上で意見を書き、侃侃諤諤の議論となっていました。
私も、『 6÷2(1+2) 』で検索したところ、該当するサイトが実に沢山あり、驚きました。

『9派』の主張は、だいたい省略された×を単に補って、
6÷2(1+2)=6÷2×(1+2)=3×3=9 とするものでした。
1派の主張に対して「小学校からやり直せ」とか馬鹿呼ばわりしている意見が目立ちました。
ひどいのになると、1派を抹殺すべきだという物騒な意見までありました。

『1派』の主張は、「2(1+2)」をまとまったものと考え、
6÷2(1+2)=6÷{2×(1+2)}=6÷(2×3)=6÷6=1 とするものでした。 
9派の主張に対して「小学校からやり直せ」のような意見もありました。
ヤフーの知恵袋のベストアンサーに多かったのも1です。
ベストアンサーの中には、次のような信じられないのもありました。
「先に( )の中をやってからやります。6÷2×3 そのあとは左から順番にやるので =6÷6=1」

その他、先に( )をはずして、6÷2(1+2)=6÷2+4=7 や、
和解を勧める目的?かと思うのですが、1と9の間をとって5というのもありました。

報道によると「電卓で計算した結果も計算機毎に結果が異なる始末」だそうで、
「ちなみにウェブで計算できるGoogleの計算機は『9』を解とした」そうです。
私もエクセルで計算してみましたが、『 6/2(1+2) 』が受け付けられず、
『 6/2*(1+2) 』にするか、式を書き直すかを迫られました。

2006年の静岡大学教育学部附属教育実践総合センター紀要に熊倉啓之氏が書かれている、
「A÷BC のタイプの計算についての指導」によると、
> 12ab÷4b (A社・例) これは,12ab÷4×b ではなく,12ab÷(4×b) の計算である。(中略)
> この計算を,12ab÷4×b=(12ab÷4)×b=3ab×b=3ab2 と誤る生徒はあまりいないと考えられる。
> しかし,一方で,式 12ab÷4b を,かけ算記号×を省略せずにかいたとき,
> (12×a×b)÷(4×b) あるいは 12×a×b÷(4×b) と正しく解答せずに,
> 12×a×b÷4×b とする誤答は,少なくないと考えられる。
> 実は,かけ算記号の省略については,中1の「文字と式」で扱うが,
> 「かけ算記号が省略された部分については,優先して計算を行う」
> ことについて,きちんと指導している教科書は一社もない。
> もちろん,中2の「式と計算」でも同様である。
ということです。

この紀要をもとにすれば、答がどちらかということは明らかなのですが、
教科書会社と検定を行う文部科学省に問題がありそうです。
もちろん、外国である台湾でどうなっているのかは私には分かりません。
誤解が生じる現状では、次のように書くべきだと私は思います。
「 (6÷2)(1+2)=9 」「 6÷2×(1+2)=9 」「 6÷{2(1+2)}=1 」
なお、私のブログでは a/bc というような書き方をせずに a/(bc) と書いています。

『 6÷2(1+2) 』を調べていて、これが、算数・数学の問題でなく、
自分の主張をどれだけゴリ押しするかを見る「性格診断テスト」ように思えてきました。
「性格診断テスト」として見たら『 6÷2(1+2) 』は中々いい問題だと思います。
ところで、もし『 2(1+2)÷2(1+2) 』だったら、どんな意見が多くなるのかな?とも思います。

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Comments 20

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Mr.ダンディ  
No title

① 2×(1+2)と 2(1+2)の相違点
私は 前者は 計算式、後者は ある値の1表現(まだ簡単になるがしていないだけ)と考えます。
6÷2(1+2)において、6と2の÷のつながりと、2と括弧の省略された×のつながりがどちらが強いかは一目瞭然。
「6」を「2(1+2)」を寄せてきて、割り算をすることになります。

② 文字式 6÷2(1+x)があれば、 (6÷2)*(1+x)
と解釈する人はいませんよね。
そこで x=2 を代入すれば
6÷2(1+2)としますよね、すると急に 6÷2 を先にするというのでしょうか ??(おかしいですよね)

①②を考慮すれば。 赤字の「かけ算記号が省略された部分については,優先して計算を行う」とみるのが当然でしょう。(⇒ 1が正解)

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、長文のコメントを有難う御座います。
計算機が正しいかどうかは結局プログラミングの問題で、
省略された*を単純に補うようなプログラムだったら当然「9」になります。
ということで、こんな変な式の答の根拠にはならないでしょう。
また、9と主張する人の意見を呼んでいると、
貴殿が書かれている「6/2(1+2)」でも変わらないと思います。
×を補ってスラッシュを単に÷に書きかえるだけですから。
ナンセンスですが、スラッシュが単位を表す時しか使えないという意見までありました。
貴殿の書かれていることは正当だと思いますが、通じない相手がいることも確かです。
私が「性格診断テスト」と書いたのは、かたくなな主張が多数あったからです。
なお、ポーランド記法とか,逆ポーランド記法、
聞きかじったことがあったのを思い出しました。

ヤドカリ  
No title

Mr.ダンディさん、コメントを有難う御座います。
貴殿の主張はもっとな事だと思います。私も貴殿のように考えます。
ただ、
「6と2の÷のつながりと、2と括弧の省略された×のつながりがどちらが強いかは一目瞭然」
それが、一目瞭然でないという人も多いです。
「文字式 6÷2(1+x)があれば、 (6÷2)*(1+x)と解釈する人はいませんよね」
主張を読んでいると、「いませんよね」とは言えません。
中には、「2(1+2)」の所を文字式でないから×を省略できないという意見までありました。
「かけ算記号が省略された部分については,優先して計算を行う」が当然でない、
かたくなな主張もけっこう多かったので、このような記事を書きました。

Mr.ダンディ  
No title

ネットで次のようなものもよく見かけますよね。
① 「0.99999・・・≠1 ではないの ??」という疑問。(いくら1になるとの説明があっても繰りかえされますね。)
② 素数が無限個存在する証明の中で
「A1,A2,・・・,Anの有限個しかないとすると
(A1*A2*・・・*An)+1 は素数だから・・・」という不十分な回答・解説をする人があとをたたない。

これらは、これからも絶えることなく繰り返されることでしょうね。

ヤドカリ  
No title

Mr.ダンディさん、再度のコメントを有難う御座います。

①「0.99999……≠1 ではないの ??」という疑問に関しては、
大小の比較は上の位からという原則が鉄則のように思っている人には、
「0.99999……=1」だと言われてもその考えを切りかえられないと思われます。

②「(A1*A2*・・・*An)+1 は素数だから」は、説明が不十分だと思いますが、
1以外の自然数は素数か合成数であり、
合成数であれば、自身より小さい素因数を持ちますので、
この数が、自身より小さい素因数を持たないという意味では、
素数と言えると思います。

知恵袋にも明らかな間違いもあり、
情報過多の時代には、情報を選択・判断する力が求められると思います。
情報を鵜呑みにしないという教育が大切だと思います。

Mr.ダンディ  
No title

たびたび すみません。
素数の定義は「1とその数以外に約数をもたない数」として、述べます。
②有限個の素数を 2,3,5,7,11,13,17 と仮定したときに、N=2*3*5*7*11*13*17+1=26869*19
となります。Nは 2,3,5,7,11,13,17のどれでも割れないが 1とその数以外に約数をもつので素数でない。
もっと個数が多くて 「(A1*A2*・・・*An)+1 の場合でもこのようなことがおこらないという保証はなく、素数と結論付けるのは乱暴であるといいたかったのです。
A1~Anで割り切れないので、『(A1*A2*・・・*An)+1 が素数であるか、合成数であってもA1~An以外の素数が存在せねばならないことになる』と持っていかなばならないと思っています。

ヤドカリ  
No title

Mr.ダンディさん、何度もコメントを有難う御座います。
仰ることはよく分かります。
有限個の素数を 2,3,5,7,11,13,17 と仮定すれば、
2,3,5,7,11,13,17のどれでも割れない17より大きい数は素数だ
という主張を誤りだと私には断定できません。
というのは、合成数は必ずそれ自身より小さい素因数をもつからで、
このNはそれに該当しないからです。
もちろん慎重に、
合成数であったとしても、2,3,5,7,11,13,17のどれでも割れないので、
これ以外の素数があるという方が無難だと思います。

Mr.ダンディ  
No title

やどかりさん、何度も有難うございました。コメントいただいたことを頭に入れて、自分の中でもう少し暖めていこうと思います。(結局、定義の仕方に戻るような気がします)

ヤドカリ  
No title

Mr.ダンディさん、度々のコメントを有難うございます。
朝、忙しくて言葉足らずだったので、もう少し説明を補います。

1より大きい数については、1とその数自身以外に約数があれば合成数、なければ素数ですが、
素因数分解の一意性により、1以外の約数があれば、その中に必ず素数がありますので、
1より大きい自然数nが素数か合成数かを判定するのに、
実際には、1より大きくnより小さい数全部が約数かどうかを調べなくても、
nより小さい素数だけを約数かどうかを調べれば、素数か合成数かを判定できます。
(もちろん、実際は √n 以下の素数だけで十分です)
素数の個数が有限であるという誤った仮定のもとで、
nより小さい素数の約数をもたない数を、素数と言ってしまうかどうかの問題です。

誤った仮定のもとでの議論ですので、慎重な言い回しが望ましいと思いますが、
私には、間違いだと言い切ることができません。

Mr.ダンディ  
No title

やどかりさん、お忙しいなか何回もコメント有難うございます。
こういう特殊な場合
素数かどうかの判定方法として、()1とその数以外に約数をもたない。 ()既存のすべての素数で割り切れない。
のどちらによるか? がポイントでは・・

前述の「②有限個の素数を 2,3,5,7,11,13,17 と仮定したときの、N=2*3*5*7*11*13*17+1」を考えたとき
N=26869*19 となるので、()に基づけば、Nは1とN以外の約数をもつので素数とはいえないでしょう。
()に基づけば、やどかりさんがコメントで書かれておられるように、素数ということになるのでしょう。

こういう面倒なことことが起こった場合、「素数の定義は何か」に立ち返って判断するべきかと思っています。
やどかりさんの書かれておられることも尤もと思いますが、()を素数の定義と捉えている私としては、どうしても 「A1*A2*・・・*An+1 は素数である」と断定することは乱暴だと思えるのです。
(くどいようでスミマセン)

ヤドカリ  
No title

Mr.ダンディさん、コメントを有難うございます。
()は素数の定義であり、()は素数かどうかの判定法です。
()に基づいての議論の方が良いと思いますが、
()に基づいての議論を、間違いだと断定できないのが私の考えです。

Mr.ダンディ  
No title

今の私には前述が限界。時間をかけて やどかりさんの根拠もかみ締めていこうと思いますので、ここで幕を下ろそうと思います。
根拠とするところの違いもはっきりしてきて勉強になりました。ながらく有難うございました。

スモークマン  
No title

面白いので☆...かってに参加 ^^ Orz...
>「A1*A2*・・・*An+1 は素数である」
の部分ですが...前提が素数が有限個だから、これは素数になっちゃうわけで...これは実際は別の素数で割り切れるやも知れないし、多くは割り切れる新たな素数があるわけですよね?
「A1*A2*・・・*Anー1 は素数である」にせよ、背理法で矛盾するから素数は有限ではないという結論で...「(A1*A2*・・・*An)!±1 はそれまに含まれていない素数かその因子の積である」と言っても同値ですよね?...ずれてたらすいません...^^;...Orz~

たけちゃん  
No title

いまさらのコメントですが...

背理法はそもそも,ある仮定から矛盾を導くことで,
その仮定の否定を結論する論法ですよね.

「素数が有限個であると仮定し,それらすべての集合をPとするとき,
(Pの要素のすべての積)+1(=M)は,どの素数でも割り切れない.」
とした後,
[1]これは,MがPに属さない素因数をもつことを意味し,矛盾.
とするか,
[2]特に,MはM未満のどの素数でも割り切れないので,
素数であることが導かれ,矛盾.
とするかは,どちらでもよいと思います.
「素数である」と言い切るのは,確かに少し違和感がありますが,
素数の定義に戻らずとも,素数であることが導ければ,
「素数である」と論じて構わないことになると思います.

たけちゃん  
No title

ついでに,恥ずかしながら,ずっと前(中学生だったか),
これに関する大きな誤解をしていたことがあります.
「(ある素数以下のすべての素数の積)+1は素数」と勘違いをして,
「+1を-1に変えてもよいはずだ.ということは,差が2の素数は無数にあるのだ」
と,勝手に双子の素数は無数にあることの(偽)証明をでっち上げていたのです.
不用意に「素数である」と言うと,
私のしたような妙な誤解の元になりかねない気はします.

ヤドカリ  
No title

Mr.ダンディさん、コメントを有難うございます。
私もこれ以上の説明はできませんので、この辺で幕を下ろそうと思います。
微妙な言い回しの難しさを考えさせられる証明でした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
A1,A2,……,An が素数であれば、A1*A2*……*An+1 は素数であるか、
合成数であったとしても、A1,A2,……,An は約数にならないので、
これ以外の素数が存在します。
素数が有限個と仮定し、それを、A1,A2,……,An とすれば矛盾するので、
素数は無限に存在することになります。

Mr.ダンディさんとの議論は、素数が有限個と仮定し、それを A1,A2,……,An としたときに、
上記のように言えば無難なのですが、
「A1*A2*……*An+1 は素数である」と言ってよいかどうかで、
Mr.ダンディさんは乱暴だと仰っていますが、
すべての素数、A1,A2,……,An が約数でないので、
「素数である」いう言い方が間違いだと決め付けるわけにはいかないというのが私の主張です。

なお、「(A1*A2*……*An)!±1 」のように階乗をつけるなら、最大の素数を P として、
「P!±1」で十分です。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
そっかぁ~^^;v
ってことは...
「A1*A2*……*An±1 」を考えることと...
「最大の素数を P として、P!±1」を考えることは同値なんですよね...^^...Orz~

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
貴殿も仰るように、不用意に「素数である」と言うと誤解を受ける可能性がありますね。

p以下のすべての素数の積を素数階乗といい、p# で表します。
p#±1 は合成数であるとしても、その素因数は、pより大きいことをしっかり理解し、
誤解を受けないように表現したうえで、
p#±1 は「誤った仮定での素数」というべきですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
「同値」をどのような意味で使っておられるのか知りませんが、
「A1*A2*……*An±1 」のA1*A2*……*An の部分は、
全ての素数を因数として含めば同様な議論ができます。
p# でも p! でも (p#)! でも (p!)^2 でも構いませんが、
普通は、その中で最も小さい p# を使います。