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[答476] 直角三角形内の正方形の辺

ヤドカリ

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[答476] 直角三角形内の正方形の辺


 AB=7,BC=17,∠B=90゚ の直角三角形の辺AB,BC,CA上に点P,Q,Rをとり、正方形PQRSを作ります。

 このとき、正方形PQRSの1辺の長さの最小値は?


[解答1]

 Rから辺BCにおろした垂線の足をHとし、PB=QH=a ,BQ=HR=b とすると、

 △ABC∽△RHQ より、AB:RH=BC:HC 、7:b=17:(17-a-b) 、17b=7(17-a-b) 、7a+24b=119 です。

 コーシー・シュワルツの不等式により、

 (72+242)(a2+b2)≧(7a+24b)2 、625(a2+b2)≧1192

 a2+b2≧(119/25)2 、√(a2+b2)≧119/25 となって、

 正方形PQRSの1辺の長さの最小値は 119/25 です。

 等号が成り立つのは、a:b=7:24 のときだから、a=7k,b=24k とおくと、

 7a+24b=119 より 49k+576k=119 、k=119/625 、a=833/625 ,b=2856/625 のときです。


[解答2]

 正方形の1辺を L とし、∠QPB=θ とします。

 Rから辺BCにおろした垂線の足をHとすれば、PB=QH=Lcosθ ,BQ=HR=Lsinθ になります。

 △ABC∽△RHQ より、AB:RH=BC:HC 、7:Lsinθ=17:(17-Lcosθ-Lsinθ) 、

 17Lsinθ=7(17-Lcosθ-Lsinθ) 、7Lcosθ+24Lsinθ=119 です。

 ここで、cosα=7/25,sinα=24/25 である鋭角αを考えれば、

 (Lcosθ)(25cosα)+(Lsinθ)(25sinα)=119 、25Lcos(θ-α)=119 、L=119/{25Lcos(θ-α)}

 だから、θ=α のとき L は最小で、最小値は 119/25 です。

 このとき、PB=Lcosθ=(119/25)(7/25)=833/625 ,BQ=Lsinθ=(119/25)(24/25)=2856/625 です。

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Comments 10

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ニリンソウ  
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おはようございます、今日も暑いフェーン現象でしょうか気持ち悪い熱風です。

ポーチャラカですかいっぱいの花畑ですね
ナイス

古い人  
No title

色とりどりの花が炎天下で綺麗に咲いてますね。

此花は挿し木でも増やす事が出来ますね。

此のポーチラカは大阪花博で紹介されたそうですね。

ナイス。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
コーヒーなら肌身離さずの友だけど...^^
コーシーはすぐ忘れちゃってます...^^;...
"a^2+b^2 を見たらコーシーと思え♪ "ですね☆ Orz~

uch*n*an  
No title

これは簡単でした。私の解法は[解答1]です。
もっとも,座標+2次関数の方が自然かな,とは思いますが。
まぁ,アプローチはいろいろとありそうなので,それに応じていろいろな解法がありそうですね。
なお,結局,残念ながら,初等幾何だけの図形的な解法は思い付きませんでした。

こっこちゃん  
No title

こんにちは

ポーチラカ 太陽がすきな花ですね

そちらは雨は少ないですか~可愛い花に ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
当方では昼から雨の予報でしたが、雨は降らず、暑い1日でした。
台風の影響だと思います。
ところで、ポーチュラカが沢山咲いていると見ごたえがありますね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ポーチラカが大阪花博で紹介されたというのは知りませんでした。
花博のような催しがまたあればと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
2次関数にすると、係数が複雑で計算が面倒になったと思います。
仰る通り、"a²+b² を見たらコーシーと思え♪ "です。
もちろん、ベクトルの内積から簡単に導かれる式ですので、
そちらに持ち込む方法もあります。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
私もいろいろ考えましたが、初等幾何だけの図形的な解法は思い付きませんでした。
最大・最小は式で判断するのが楽な場合が多いですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、こちらは雨が少ないです。
でも、降る時には急に局地的に豪雨になりますので、困ります。
ところで、この暑さの中で、ポーチュラカは元気です。