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[答477] 整数解の3次方程式

ヤドカリ

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[答477] 整数解の3次方程式


 k を定数として、3次方程式 x3-18x2+5kx-9k-7=0 の解がすべて整数のとき、k=?


[解答]

 解を α,β,γ (α≦β≦γ)とすると、解と係数の関係により、

 α+β+γ=18,βγ+γα+αβ=5k,αβγ=9k+7 になり、

 αβγ=9(βγ+γα+αβ)/5+7 、(α-9/5)(β-9/5)(γ-9/5)=81(α+β+γ)/25-729/125+7 、

 (5α-9)(5β-9)(5γ-9)=81・18・5-729+875=7436=22・11・132 になります。

 ここで、5・(整数)-9 で表される数は、正の数なら1の位が 1,6 、負の数なら1の位が 4,9 です。

 7436 の約数で、この条件を満たすのは、1,11,26,286,676,7436,-4,-44,-169,-1869 で、

 (5α-9)+(5β-9)+(5γ-9)=5(α+β+γ)-27=5・18-27=63 に注意すると、

 5α-9=11,5β-9=26,5γ-9=26 だけが適し、α=4,β=7,γ=7 で、解は 4,7(重解) です。

 よって、9k+7=αβγ=196 より、k=21 になります。

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Comments 20

There are no comments yet.
スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしゃ...微分して2次関数からkの範囲を出して...
といういい加減な解法でした...^^;

「ABC予想」調べてみたけど...ピタゴラスの定理の拡張版みたいに見えた...単なる感想...意味がつかめましぇん...^^;...Orz~

たけちゃん  
No title

>この方向以外の解法
として,次の方法はありだと思います.

方程式の左辺をf(x) として,f(9/5)<0.

容易にkは整数に限ることがわかるので,
k<0のとき,f(0)>0となり,f(1)=0に限ることになって不適.

k≧0のとき,3解はすべて正とわかり,3解の和が18から,
1,2,3,4,5,6のうちに解.
それぞれkが定まり,実際整数解となるかを調べて終了.

まあ,計算が楽かは別の問題ですが.

uch*n*an  
No title

たけちゃんさん,なるほど,確かに。
実は似たようなことも考えたのですが,k が整数でなくともいいような気がして。
今考え直したらおっしゃるとおりでした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難う御座います。
残暑の中で、水の上に葉と花を出して涼しげでした。
PCがブログ更新の時にが思った通りに動かない場合もあり、
私は細かい事は気にしないようにしています。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、ガガブタです。
朝早くでもないのですが、しっかり咲いていました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ガガブタという水草ですよ。
アサザと違って、白くて、花弁がウブゲのようで面白いです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、ガガブタです。
当然のようにあったものが少なくなるのは悲しいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ガガブタは好きな花のひとつだからでしょうか。
目につきましたよ。(笑)

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
近くのため池の咲いているのですか。いいですね。
これは、花の文化園前で見たものです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
解答をご覧になって分かって頂ければうれしいです。
ところで、ABC問題は、今朝のニュースで初めて知りました。
整数問題には未解決の問題が沢山あり、一流の数学者が解こうとしても
一生を棒に振る可能性があります。
そのような、とんでもない問題だということは確かです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
このような整数問題は、解答を見れば簡単そうですね。
しかし、ひとつひとつの検討は面倒なものです。
「この方向以外の解法」は、私も考えてみたのですが、
手間がかかるだけと、私も諦めました。

「ABC問題」については、調べても詳しく書かれていませんでした。
どんな問題かくらいは見ておこうとしたのですが……。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
整数問題はひとつひとつ確かめるのが面倒なものですが、
それを如何に効率よく絞るかが問題と思います。
「ABC問題」については、話題になっているという程度の認識です。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
整数問題はいろんな解き方があると思います。
その方向もありですね。
ただ、省略された部分の検討が追いつきませんでした。

ひとりしずか  
No title

花びらがキレイなゾウリムシみたい・・・はじめて見ます
ガガブタって名前がちょっとね~

ナイス!

uch*n*an  
No title

ABC問題=ABC予想は,私が理解した範囲では次のような比較的単純な予想のようです。

まず,自然数 n に対して rad(n) を n を素因数分解したときの素因数の積,と定義します。
例えば,rad(16) = rad(2^4) = 2,rad(17) = 17,rad(18) = rad(2 * 3^2) = 2 * 3 = 6,など。
一般に,x,y を互いに素な自然数,k を自然数として,
rad(x^k) = (x^k の素因数の積) = (x の素因数の積) = rad(x)
rad(xy) = (xy の素因数の積) = (x の素因数の積) * (y の素因数の積) = rad(x) * rad(y) <= xy
ですね。

uch*n*an  
No title

ABC予想というのは,いろいろな表現があるようなのですが,分かりやすい単純なものとしては,

a,b,a < b を互に素な自然数として,a + b = c のとき,常に c < (rad(abc))^2 がいえる

というものがあります。

2 + 3 = 5,5 < rad(2 * 3 * 5) = 2 * 3 * 5 = 30 など c < rad(abc) の場合が多いのですが,
5 + 27 = 32,32 > rad(5 * 27 * 32) = rad(5 * 3^3 * 2^5) = 5 * 3 * 2 = 30
のような例外もあります。

そこで,

q > 1 として,高々有限個を除いて c < (rad(abc))^q が成立する

というのを調べるのは自然な発想で,q = 2 では例外は存在しない,というのが先の予想です。

uch*n*an  
No title

ところで,この予想がいえると,フェルマーの大定理が簡単に示せるように思います。

x,y,z を互いの素な自然数,n を 3 以上の自然数とし,x^n + y^n = z^n がいえているとすると,
z^n < (rad(x^n * y^n * z^n))^2 = (rad((xyz)^n)^2 = (rad(xyz))^2 <= (xyz)^2 < (z^3)^2 = z^6
n < 6,つまり,成立するとしたら n = 3,4,5 です。
ところが,
n = 3 はオイラーが,n = 4 はフェルマーが,n = 5 はディリクレなどが,
個別に解がないことを証明しているので,結局,n >= 3 では成立しないことになります。

uch*n*an  
No title

ワイルズによるフェルマーの大定理の証明も,
確か,谷山・志村予想(又はそれと等価なもの?)を証明し,
その系として証明したと聞いた気がするので似たようなものかも知れませんが,
それにしても,何かあまりにもあっけないので,何か勘違いしている可能性が高いですね (^^;

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ガガブタというのは鏡蓋だそうです。
音感は悪いですが、可愛い花です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、「ABC問題=ABC予想」の説明を有難う御座います。
昨日ちょっと調べて rad(n) の意味は分かっていたのですが、
その性質まで考えずに終わっています。
ひとつひとつの事がかなり深い意味をもっていそうですので、
この論文が他の数学者によって確められ、出版物になってから読んで、
さわりだけでも理解できればいいなぁと思っているところです。
せっかく長々と書いて頂いて申し訳ないのですが、
今すぐの勉強は私には出来そうにありません。