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[答478] 正方形の個数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答478] 正方形の個数


 本問では、1辺の長さが 1cm の正方形を「正方形」、長さが 1cm の線分を「線分」ということにします。

 図は、線分 29本で平面上に重ならないように正方形を 11個作った図です。

 では、線分 1000本で平面上に重ならないように正方形を作ると最多で何個?


[解答]

 右図のような順に、なるべく少ない線分で正方形を増やしていきます。

 まず、最初の正方形を作るときに線分は4本必要です。

 正方形を1個増やす場合に、

 それまでの正方形が長方形状に並んでいない(欠けた部分がある)場合は2本追加することになり、

 それまでの正方形が長方形状(正方形状を含む)に並んでいる場合は3本追加することになります。

 そのとき、その後に、2本の線分で正方形をなるべく多く増やすことを考えれば、

 長方形の長い方の辺の端に、線分を3本追加して正方形をつけることになります。

 このように考えれば、正方形状に並んだ k2 個の正方形に1個増やすときと、

 長方形状に並んだ k(k+1) 個の正方形に1個増やすときが線分を3本追加するときです。

 右図の数は、そのようにして効率よく正方形を作る順番の1つです。

 このように考えると、3本の線分の追加が必要な正方形は、

 上に並んだ、2,5,10,17,26,……,k2+1,…… 番目、

 斜めに並んだ、3,7,13,21,31,……,k(k+1)+1,…… 番目、

 になります。

 n個の正方形をつくるときに、最初の正方形以外に

 上に並ぶ正方形の個数は、k2+1≦n より k≦√(n-1) だから、[√(n-1)]個、

 斜めに並ぶ正方形の個数は、k(k+1)+1≦n 、(2k+1)2≦4n-3 、

  k≦{√(4n-3)-1}/2 だから、[{√(4n-3)-1}/2]個 です。

 最初の正方形を作るときに線分は4本必要で、

 正方形を増やすのに、3本の線分の追加が必要なのは、[√(n-1)]+[{√(4n-3)-1}/2]個、

 他は2本の線分の追加が必要になります。

 従って、n個の正方形を作るのに必要な線分の最少数を f(n) とすれば、

 f(n)=2n+2+[√(n-1)]+[{√(4n-3)-1}/2] になります。

 f(n) は明らかに単調増加で、f(500)>1000 、f(470)=984 、f(480)=1004 等、

 範囲を絞っていけば、f(n)=1000 となるのは、n=478 で、これが答になります。


☆ 正方形の数が k2,k(k+1) でないときは、欠ける部分に余裕があり、

 例の図の 11個の正方形の場合も、その下に示したようなものも考えられます。

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Comments 14

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ひとりしずか  
No title

タマスダレ沢山の花キレイです~
白い花びらに黄色い蕊を囲む緑・・
花が輝いて見えます~ナイス!

ニリンソウ  
No title

タマスダレ真っ白の星、上を見て咲きましたね
我が家も少しだけ!

ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
いっぱい咲くと、綺麗ですね~♪
私も探しましょう(o^-^o)ナイス!

Yasuko  
No title

(ヾ(´・ω・`)ノオハヨウ(o´_ _)o)ペコッ
真っ白なタマスダレ・・・綺麗です(*^_^*)✿
あちこちで見かけますよねぇ~(/ω・\)チラッ―

ナイス!

uch*n*an  
No title

この問題はパズルのような問題でした。
私の解法も,説明は大分いい加減でしたが,おおよそ[解答]と同じでした。

古い人  
No title

タマスダレ此の時期良く咲いてますね。

此の白い花とても綺麗ですね。ナイス、

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
正方形のときが一番面積が大きいと思ってたんですが...
けっきょくはそれでよかったんですよね...^^;...?
正方形の場合は引き算で...
長方形の場合は足し算で...
菱形でも同じになるはずですよね...^^
正六角形だとややこしそう...^^;
Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
横から撮った写真もあったのですが、この角度から見ないと蕊が引き立ちません。
蕊も花弁も目立っていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
タマスダレは上からみた感じがいいですね。
リコメしていて、ふと、
アリさんのように下から見たらどんなだろうと思いました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このごろあちこちで見ますが、
同じ見るなら沢山かたまって咲いているのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
よく昼前にコメントをくれていたのに、このごろ時間帯が早いですね。
季節が変わって、生活リズムの変わったのでしょうか。
ところで、タマスダレ、1輪より団体で咲いているのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
パズルのような問題は、どの程度の解答を書けばいいのかよく分かりませんが、
この問題に関しては上記ので良しとしました。
最初の方の説明がくどかったかも知れません。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
貴殿のブログもこの前記事にされていましたね。
タマスダレは有毒とのことですが、綺麗なものには棘が毒がありそうな気がします。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
> 正六角形だとややこしそう...^^;
私にはその発想がありませんでした。
今は考えたくないので、貴殿のご自由に!