[答479] 凸五角形の面積

[答479] 凸五角形の面積


　∠B＝60ﾟ，∠C＝45ﾟ の △ABC があり、図のように、線対称な五角形２つに分けます。

　このとき、凸五角形の方の面積を S として、S/△ABC＝？


[解答1]

　凸五角形の頂点を A，D，E，F，C とし、AD の延長と BC の交点を H とします。

　∠CAD＝∠ACF＝45ﾟ 、∠BFD＝∠BAD＝75ﾟ－45ﾟ＝30ﾟ で、∠B＝60ﾟ だから AH⊥BC 、

　∠FHE＝∠DHE＝45ﾟ です。

　AB＝2 とすれば、BH＝1，AH＝HC＝√3，BF＝2 なので、HF＝1 になります。

　△EHF で、HF を底辺とすれば、高さは 1/(√3＋1)＝(√3－1)/2 だから、△EHF＝(√3－1)/4 、

　S＝△AHC－2△EHF＝3/2－(√3－1)/2＝(4－√3)/2 になり、

　△ABC＝△AHC＋△ABH＝(3＋√3)/2 だから、

　S/△ABC＝{(4－√3)/2}/{(3＋√3)/2}＝{(4－√3)(3－√3)}/{(3＋√3)(3－√3)}＝(15－7√3)/6 です。


[解答2]

　A から BC への垂線の足を H とし、凸五角形の頂点を A，D，E，F，C とします。

　AB＝2 とすれば、BH＝1，AH＝HC＝√3，AC＝√6 です。

　２つの五角形の対称性より、

　FC＝DA＝EF＝ED ，∠DEF＝∠EDA＝∠EFC＝180ﾟ－∠EFB＝180ﾟ－∠DAB＝180ﾟ－30ﾟ だから、

　外角が 30ﾟ の正多角形である正十二角形の一部として、凸五角形をとらえれば、

　この外接円は AC＝√6 を１辺とする正三角形の外接円で、その半径は √2 、

　S＝4{(√2)²sin30ﾟ}/2－{(√2)²sin120ﾟ}/2＝(4－√3)/2 になり、

　△ABC＝△AHC＋△ABH＝(3＋√3)/2 だから、

　S/△ABC＝{(4－√3)/2}/{(3＋√3)/2}＝{(4－√3)(3－√3)}/{(3＋√3)(3－√3)}＝(15－7√3)/6 です。

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