[答479] 凸五角形の面積
[答479] 凸五角形の面積
∠B=60゚,∠C=45゚ の △ABC があり、図のように、線対称な五角形2つに分けます。
このとき、凸五角形の方の面積を S として、S/△ABC=?
[解答1]
凸五角形の頂点を A,D,E,F,C とし、AD の延長と BC の交点を H とします。
∠CAD=∠ACF=45゚ 、∠BFD=∠BAD=75゚-45゚=30゚ で、∠B=60゚ だから AH⊥BC 、
∠FHE=∠DHE=45゚ です。
AB=2 とすれば、BH=1,AH=HC=√3,BF=2 なので、HF=1 になります。
△EHF で、HF を底辺とすれば、高さは 1/(√3+1)=(√3-1)/2 だから、△EHF=(√3-1)/4 、
S=△AHC-2△EHF=3/2-(√3-1)/2=(4-√3)/2 になり、
△ABC=△AHC+△ABH=(3+√3)/2 だから、
S/△ABC={(4-√3)/2}/{(3+√3)/2}={(4-√3)(3-√3)}/{(3+√3)(3-√3)}=(15-7√3)/6 です。
[解答2]
A から BC への垂線の足を H とし、凸五角形の頂点を A,D,E,F,C とします。
AB=2 とすれば、BH=1,AH=HC=√3,AC=√6 です。
2つの五角形の対称性より、
FC=DA=EF=ED ,∠DEF=∠EDA=∠EFC=180゚-∠EFB=180゚-∠DAB=180゚-30゚ だから、
外角が 30゚ の正多角形である正十二角形の一部として、凸五角形をとらえれば、
この外接円は AC=√6 を1辺とする正三角形の外接円で、その半径は √2 、
S=4{(√2)2sin30゚}/2-{(√2)2sin120゚}/2=(4-√3)/2 になり、
△ABC=△AHC+△ABH=(3+√3)/2 だから、
S/△ABC={(4-√3)/2}/{(3+√3)/2}={(4-√3)(3-√3)}/{(3+√3)(3-√3)}=(15-7√3)/6 です。
.