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[答479] 凸五角形の面積

ヤドカリ

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[答479] 凸五角形の面積


 ∠B=60゚,∠C=45゚ の △ABC があり、図のように、線対称な五角形2つに分けます。

 このとき、凸五角形の方の面積を S として、S/△ABC=?


[解答1]

 凸五角形の頂点を A,D,E,F,C とし、AD の延長と BC の交点を H とします。

 ∠CAD=∠ACF=45゚ 、∠BFD=∠BAD=75゚-45゚=30゚ で、∠B=60゚ だから AH⊥BC 、

 ∠FHE=∠DHE=45゚ です。

 AB=2 とすれば、BH=1,AH=HC=√3,BF=2 なので、HF=1 になります。

 △EHF で、HF を底辺とすれば、高さは 1/(√3+1)=(√3-1)/2 だから、△EHF=(√3-1)/4 、

 S=△AHC-2△EHF=3/2-(√3-1)/2=(4-√3)/2 になり、

 △ABC=△AHC+△ABH=(3+√3)/2 だから、

 S/△ABC={(4-√3)/2}/{(3+√3)/2}={(4-√3)(3-√3)}/{(3+√3)(3-√3)}=(15-7√3)/6 です。


[解答2]

 A から BC への垂線の足を H とし、凸五角形の頂点を A,D,E,F,C とします。

 AB=2 とすれば、BH=1,AH=HC=√3,AC=√6 です。

 2つの五角形の対称性より、

 FC=DA=EF=ED ,∠DEF=∠EDA=∠EFC=180゚-∠EFB=180゚-∠DAB=180゚-30゚ だから、

 外角が 30゚ の正多角形である正十二角形の一部として、凸五角形をとらえれば、

 この外接円は AC=√6 を1辺とする正三角形の外接円で、その半径は √2 、

 S=4{(√2)2sin30゚}/2-{(√2)2sin120゚}/2=(4-√3)/2 になり、

 △ABC=△AHC+△ABH=(3+√3)/2 だから、

 S/△ABC={(4-√3)/2}/{(3+√3)/2}={(4-√3)(3-√3)}/{(3+√3)(3-√3)}=(15-7√3)/6 です。

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Comments 20

There are no comments yet.
Yasuko  
No title

(*^・ェ・)ノ コンニチワ♪
名前~ど忘れしていまいましたわ^_^;

( ゚∀゚)アハハでも綺麗です~(*^_^*)✿

ナイス!

uch*n*an  
No title

これは,残念ながら算数ではないですが,算数っぽく考えられる楽しい問題でした。
私の解法は二つ+α。
(解法1)は,AF で凸五角形を二つに分け,△ABFが正三角形なのを基に考える解法で,
+αはそれの若干の改良版です。[解答1]よりは少し遠回りな感じがします。
(解法2)は,[解答2]とほぼ同じです。
なお,私だけだろうと思いますし,また,まぁ明らかともいえますが,
[解答1]も[解答2]も,若干説明を端折っていて少し分かりづらい箇所があるような気もしました。
例えば,D が AH 上にあること,又は同じことですが ∠BAD = ∠BFE = 30°,とか,
△EHF の底辺を HF としたときの高さが 1/(√3+1) とか,外接円の半径は √2 とか。
もちろん,いずれも簡単に示せますが。

Yasuko  
No title

ヒガンバナ科の・・・
リコリスによく似ているのですが?
間違っていたら(m´・ω・`)m ゴメン…デス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは算額っぽくって楽しかったです♪
こんな線対称なる図形ができるなんて...世界発見ですね☆
正十二角形の一部にもなってるのも発見☆
こんな不思議なフォルムをよく見つけられましたねぇ ^^♪

ひとりしずか  
No title

リコリス ピンクバーという名の花なんですね~
色がサイケっぽい~人工的な色合いに感じました・・

ナイス!

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」簡明ですね!
自分の解法に対し、自分では満足をしていたのですが、これに比すると大きく遠回りをしていました。
「ラッキーセブン?」(7つのピースを組み合わせいろいろな絵柄を作るパズル)を想起しました。

ヤドカリ  
No title


写真の花は、歩道わきに咲いていたものです。
私はネリネと思って撮ったのですが、調べてみれば、
ネリネにもリコリスにもナツズイセンにも似たものがありました。
結局、どれが正しいのか判明しませんでした。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
本当に種類が多いですね。
この花が何なのかは分かりませんでしたが、綺麗でしたよ。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
種類が多く、名前はよく分かりませんでした。
急に涼しくなってきたのはこちらも同じ。
お互い、体調管理が大切ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
品種改良で花の種類は増えて、似たものがよく分かりません。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
本当に不思議な色合いでした。
このまま枯れるというより、枯れているのもありました。
お互い、「このまま枯れる」ことのないようにしましょうね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、2度のコメントとナイス!を有難う御座います。
リコリスも調べたのですが、リコリスにいろんな名前のものがありました。
似たものもありましたが、特定できません。

ひとりしずか  
No title

リコリス・スプレンゲリ【ムラサキキツネノカミソリ(紫狐の剃刀)】とか名前決めれないですね・・・

ひとりしずか  
No title

ネリネというのもあるんですね・・
ほんとどれも良く似ていますね~

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
解くときに角度や長さの比は考えますので、端折った部分もありましたが、
折角のご指摘ですので、少し加筆しました。
どの程度に解答を書くかは難しいことでもあります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
もっと簡単な図形で、対称な四角形2つに分割したものを見たことがあります。
それをヒントにこの形を考えました。
なお、出題時に、uch*n*anさんへのリコメに書きましたが、
この図を線対称な2つの多角形に分けるとき、
AからCへと凸多角形を作っていくときは、Aを 45゚と30゚に分けることになりますが、
360゚/30゚=12,2・45゚/30゚+2=5 で、正12角形の一部の凸5角形になり、
AからBへと凸多角形を作っていけば、Aを 60゚と15゚に分けることになりますので、
360゚/15゚=24,2・60゚/15゚+2=10 で、正24角形の一部の凸10角形になり、
BからCへと凸多角形を作っていけば、Bを 45゚と15゚に分けることになりますので、
360゚/15゚=24,2・45゚/15゚+2=8 で、正24角形の一部の凸8角形になります。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、何度もコメントを有難う御座います。
貴女もいろいろ調べられたのですね。コメントにそれが伺えます。
似た花がたくさんあって、私にはよく分かりませんでした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
私もそのパズルを知っていますが、結局は試行錯誤で解くことになってしまいます。
そういったものを問題にできれば、沢山の問題が出来そうですが、
なかなか閃きません。

こっこちゃん  
No title

こんばんは

素敵な色の花ですね
ヒガンバナ科なのですよね 美しい ナイス

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
このピンクの花の水色に魅せられて撮りました。
名前は分かりませんが、綺麗でした。