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[答480] 自然数になるnの個数

ヤドカリ

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[答480] 自然数になるnの個数


 √(n2+k) が自然数になるような、自然数nの個数を f(k) で表すことにします。

 例えば、√(n2+15) は n=1,7 のときのみ自然数になりますので、f(15)=2 です。

 f(k)=8 ,k<1000 の両方を満たす自然数 k=?

 該当する k の値は5個あります。


[解答]

 √(n2+k)=m (k,m,n は自然数)とすれば、

 n2+k=m2 、k=m2-n2=(m+n)(m-n) だから、

 m+n=a ,m-n=b とすれば、 m=(a+b)/2 ,n=(a-b)/2 ,k=ab ,a>b となって、

 a,b は積が k である、異なる奇数どうし または 異なる偶数どうしの組の個数が f(k) です。

 表現を変えれば、ガウス記号を用いて次のように表されます。

 k が奇数のとき、f(k)=[(k の約数の個数)/2] 、

 k が偶数で4の倍数でないとき、f(k)=0 、

 k が4の倍数のとき、f(k)=[(k/4 の約数の個数)/2] 、
 
 従って、f(k)=8 となるのは、

 k が奇数であれば k の約数が、 k が4の倍数であれば、k/4 の約数が 16個または 17個のときです。

 以下、p,q,r,s を素数として、約数が 16個または 17個である数は、

 pqrs,p3qr,p3q3,p7q,p15,p16 と表されます。

 この形で表される 1000未満の奇数は、 33・5・7=945 だけで、

 250未満の自然数は、 2・3・5・7=210,23・3・5=120,23・3・7=168,23・33=216 です。

 よって、k=945 または k/4=210,120,168,216 、

 小さい順に並べれば、k=480,672,840,864,945 です。


[参考] uch*n*anさんによるプログラムでのチェックの結果です。

 (n,√(n2+k)) の具体的な値は、

 k=480:(2,22),(7,23),(14,26),(19,29),(26,34),(37,43),(58,62),(119,121)

 k=672:(2,26),(13,29),(17,31),(22,34),(38,46),(53,59),(82,86),(167,169)

 k=840:(1,29),(11,31),(23,37),(29,41),(37,47),(67,73),(103,107),(209,211)

 k=864:(6,30),(15,33),(19,35),(30,42),(50,58),(69,75),(106,110),(215,217)

 k=945:(4,31),(12,33),(24,39),(48,57),(64,71),(92,97),(156,159),(472,473)

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Comments 15

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古い人  
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今日の花は何でしょう。

ゲンノショウコに良く似ていますね。

此の時期に咲いてますね。ナイス。

樹☆  
No title

おはようございます。。
白山風露だと思ったら・・・
ゲンノショウコはピンクは見たことがありますが、白い花も
可愛いですね。。
種がなくなったあとの「みこし」様、姿を見て見たいものです^^ナイスです。

アキチャン  
No title

おはようございます。
かわいいお花ですね~♪
ナイス!

ニリンソウ  
No title

ゲンノショウコですね~白い花が清楚で良く撮れています。こちらは白がいっぱいあるので赤をみると
喜びます

ナイス

Yasuko  
No title

:*・゚☆.。.:*・゚£(。・"・)o[†Good MORNING†]o(・"・。)β。.:*・゚☆.。.:*・
清楚で綺麗なお花ですぅ~(゚∀゚)✿
お花の名前知らなかったわ^^;
今日も寒いです:(;゙゚'ω゚'):サムィー

ナイス!

uch*n*an  
No title

この問題は,ちょっと気の効いた面白い問題でした。高校又は大学入試にもいいかも。
私の解法も,表現の違いはあるものの[解答]と同じ考え方でした。
ただ,k が 1000 未満なので最初から考慮しませんでしたが,
約数の個数が 17 個の場合にも一言触れておくべきだったと反省。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
なるほどぉ~☆
わたしゃなかば...行き倒れ=行き当たりばったり...^^;
何とかゴールテープ切れたけど...全部で5個と言うヒントなければ見つけられなかったことでしょう...Orz~

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ゲンノショウコそのものです。
夏場からこの時期にかけてよく見ますね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
西日本ではピンクが多いようですね。
機会があれば「みこし」姿も見たいと思います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
小さい花ですが、健気に咲いています。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
西日本では白が珍しいので何枚も撮りました。
ピンクのも撮りましたが、ピンボケで載せられません。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
この問題、高校入試としてはかなりの難関校でしょうか。
大学入試とすれば、どれだけの割合の受験生が解けるでしょうか。
興味のあるところです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
この解き方に納得して頂ければ、出題の甲斐があったというものです。
能率の良い解き方を工夫するのが面白いです。

ひとりしずか  
No title

ゲンノショウコとっても綺麗に上手に撮れていますね~ナイス!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
こちらでは白が珍しいので、何枚も撮った結果です。