FC2ブログ

Welcome to my blog

[答481] 6桁の循環節

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答481] 6桁の循環節


 1/7=0.142857142857……,1/13=0.076923076923…… は小数に直すと6桁の循環節をもちます。

 また、循環節を2桁ずつに区切って和をとると、14+28+57=99 ,07+69+23=99 になります。

 このように、1/n が6桁の循環節をもつ純循環小数で、循環節を2桁ずつに区切った和が 99 である

 自然数nはいくつかありますが、そのうち、3桁の数は?

 該当する3桁の数は4個あります。


[解答1]

 十進法で、下位から2桁ずつに区切った和が99の倍数であることと元の数が99の倍数であることは同値です。

 循環節は 99 の倍数だから 99a とすれば、1/n=99a/999999 だから、an=10101=3・7・13・37 です。

 よって、nは 3・7・13・37 の約数で、循環節が6桁だから、9,99,999 の約数ではありません。

 この条件を満たす3桁の数は、n=259,273,481,777 です。


[解答2]

 100<n<1000 より、1/100>1/n>1/1000 、0.01>1/n>0.001 だから、

 循環節は、00abcd の形で、改めて、abを x,cdを y とすれば、

 x+y=99,10≦x≦99,x≠90 (循環節が3桁の 009009 を除く) で、

 1/n=(100x+y)/999999=(99x+x+y)/999999=(99x+99)/999999=(x+1)/10101 、

 n=10101/(x+1)=3・7・13・37/(x+1) になります。

 n が自然数になるのは、x+1=39,37,21,13 、 n=259,273,481,777 になります。


[解答3] uch*n*anさんの解答より

 n を 3 桁の自然数,循環節を abcdef とすると 999999 以下の自然数で,

 1/n=0.abcdefabcdef……,106/n-1/n=(103+1)(103-1)/n=abcdef から,

 循環節が 6 桁なので, n が 103-1=999 の約数,111,333,999,ではなく,

 106/n-1/n=abcdef ,(102-1)(104+102+1)/n=9999ab+99cd+(ab+cd+ef)

 99・10101/n=9999ab+99cd+99 ,10101/n=101ab+cd+1 は,自然数なので,

 n は 10101=3・7・13・37 の約数になります。

 そこで,3 桁で 111,333,999 以外の約数を求めると,n=259,481,273,777,です。


[参考1]

 結局 n は 10101=3・7・13・37 の約数のうち、999=33・37 の約数を除いたもので、

 3桁以外では、n=7,13,21,39,91,1443,3367,10101 の 8個が該当します。


[参考2]

 1/n の循環節を実際に調べる必要はありませんが、念のために記しておきます。

 1/259=0.003861……,1/273=0.003663……,1/481=0.002079……,1/777=0.001287……,

.

スポンサーサイト



Comments 19

There are no comments yet.
古い人  
No title

白の彼岸花です。

ね此の頃はショウキズイセンヤコリウスなど。

種類も多く有りますね。

中でも染色体が14の物が種が出来るそうですね。

ナイス。

樹☆  
No title

おはようございます。。
「暑さ寒さも彼岸まで」との言葉があるように、過ごしやすい気候を迎え自然の恵みに感謝し、先祖を敬いと思います。

白い彼岸花もすてきです。ナイスです。

ニリンソウ  
No title

真っ白は初めてですね
黄色は見たことあるけど。
この地方でもやっとつくしのように頭だしてきました!
来週辺り開くかな? です
ナイス

こっこちゃん  
No title

おはようございます

暑さ寒さも彼岸までいいますが こちらはまだ暑いです

白いヒガンバナ素敵ですね ナイス

ひとりしずか  
No title

清楚な感じがします~!

ナイス!

uch*n*an  
No title

これは,循環小数に慣れていれば容易だと思いますが,不慣れだと苦労するかも知れません。
私の解法は[解答3]ですが,実は最初は,
10^4/n + 10^2/n + 1/n = abcd.efabcdefabcd… + ab.cdefabcdefabcd… + 0.abcdefabcdef…
10101/n = abcd + ab + 0.999999999999… = abcd + ab + 1 = 自然数
と,0.999999999999… = 1 を使う解法でした。しかし,やどかりさんのリコメを見て,
使わない方がいいかな,と思って書き直したのが[解答3]です。
0.999999999999… = 1 は議論を呼びそうな気もするので,無難な[解答3]の方がいいですね。

uch*n*an  
No title

[解答1]~[解答3]を比べると,
実はすべて同じで,どこまで説明するかだけの違いのような気もします。
個人的にちょっと気になったのは,
[解答1]でいきなり循環節が 99 の倍数としているところで,
[解答2]や[解答3]を見れば分かるように明らかではあるのですが,
10進法では各桁の数字の和が 9 の倍数ならば元の数も 9 の倍数,のように,
解答という意味では,特に断りもなく言ってしまってもいいのでしょうか。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
たしかに...99の倍数の判定はすぐわからず...
111111=111*1001=3*37*11*7*13 の約数で満たすものを考えました...^^;...解答は大変勉強になりました☆ Orz~

Yasuko  
No title

(*^・ェ・)ノ コンチャ♪
暑さ寒さも彼岸まで秋らしくなって来ましたね!
白の彼岸花~♥━━ヾ(●´v’)人(’v`○)ノ━━♥ヵヮュィ

ナイス!

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ヒガンバナ科の花にもいろんな種類があり、この時期も楽しみの1つです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
近くの神社に1輪だけ咲いていました。
白の彼岸花は清楚な感じがします。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
黄色の彼岸花ってあるのですか?
私は黄色のはショウキズイセンだと思っていました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
そちらのブログで沢山の彼岸花が咲いているのを見せて頂きました。
ところで、名前アイコンを変えられたのですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私も白い彼岸花の清楚な感じが好きです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
[解答1]は私が真っ先に思いついた解き方で、99の倍数の判定法を既知の事として
書きましたが、仰る通り、ひとこと断る方がいいと思い、加筆しました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
9,99,999,…… の倍数の判定法は区切る桁数が違うだけで、
私は同じような感覚で使っていました。
言葉足らずで申し訳ないことです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
方違神社の境内に1輪だけ咲いていました。
白のヒガンバナは清楚な感じがし、好きな花です。

アキチャン  
No title

おはようございます。
彼岸花もいろいろな色が出てきていますネ(o^-^o)
ナイス!

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
白のヒガンバナは以前からたまに見かけます。
ネリネなど同じようなカラフルな花もあるようですが、
品種改良の技術は凄いですね。