FC2ブログ

Welcome to my blog

[答482] 内心と頂点の距離

ヤドカリ

ヤドカリ



[答482] 内心と頂点の距離


 ∠A=90゚ の直角三角形ABCにおいて、内心をIとします。

 AB=3,AC=4 とすれば、BC=5,IA=√2,IB=√5,IC=√10 で、IA・IB=IC になります。

 このように、∠A=90゚ ,AB<AC で3辺が自然数の直角三角形ABCの内心をIとして、

 IA・IB=IC が成り立つときの IC=?

 IC=√10 以外で、小さいものから3つ求めて下さい。


[解答]

 内接円の半径を r,AB=r+s,AC=r+t とすると、BC=s+t となり、三平方の定理より、

 (s+t)2=(r+s)2+(r+t)2、簡単にして t(s-r)=r(r+s) です。

 条件より、IA2・IB2=IC2 なので、2r2(r2+s2)=r2+t2

 2r2(r2+s2)(s-r)2=r2(s-r)2+t2(s-r)2

 2r2(r2+s2)(s-r)2=r2(s-r)2+r2(r+s)2

 2r2(r2+s2)(s-r)2=2r2(s2+r2) 、

 s-r=1 ,s=r+1、t(s-r)=r(r+s) より t=r(2r+1) となって、

 AB=2r+1,AC=2r(r+1),BC=2r2+2r+1 になります。

 AB=2r+1 は自然数だから、r は有理数で、

 BC-AB=2r2 は自然数なので、r は自然数で、このとき3辺とも自然数です。

 IC=√(r2+t2)=√{r2+r2(2r+1)2}=r√{1+(2r+1)2} です。

 r=1 のとき IC=√10 以下、

 r=2 のとき IC=2√26 ,r=3 のとき IC=15√2 ,r=4 のとき IC=4√82 ,…… です。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはようございます
台風も起きたらもう青森に行ってた~

ノコンギクでしょうか淡い紫がいいですね
野菊の墓 思い出しますね
ナイス

古い人  
No title

今日は菊科の花ですね。

此の時期良く観ますが名前が分かりません泣き。

此花も種類が多く私には判りずらい花ですす。

でも清涼感があり綺麗ですね。

古い人  
No title

ナイス忘れました御免なさい。

アキチャン  
No title

おはようございます。
この薄紫のお花を観ると、
中学の音楽でならった「野菊(?)」という歌を思い出します(o^-^o)
「・・・うすむらさきよ~♪」ナイス!

ひとりしずか  
No title

野菊が見られるようになりました~
優しい色がいいですね~ナイス!

属だけでも10以上あるんですね~

好きな花の一つです(^^♪

樹☆  
No title

おはようございます。
野紺菊? ヨメナ?お花が似ているので
よくわかりませんが、昔寄り道して遊んだ丘にたくさん
咲いていました。。可愛いですね。
ナイスです。

Yasuko  
No title

(*^・ェ・)ノ オハヨウ♪
昨日は大変でしたねぇ~朝から庭周りの掃除で大変でしたわ^^;

ノコンギクでしょうか?
淡い紫が綺麗です(⌒~⌒)ニンマリ

ナイス!

uch*n*an  
No title

これは,見かけよりは簡単な問題で,うまく解けてしまいますね。
私の解法は,議論の仕方が少し違いますが,大筋同じでした。

なお,今週は期初ということもあって少し仕事が立て込んでおり,参加が遅れるかも知れません。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

ノコンギクかしら?
秋になると野原や道路わきを彩りよく飾ってくれるお花ですね。
この薄紫色が好きです。
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは...れいのところに式を放り込んじゃったんですが...Orz...
奇麗な式になるんですねぇ☆
直角三角形だからこそ成り立つ関係なんでしょね♪

ヤドカリ  
No title


写真の花はシオンだと思います。
ノコンギクもヨメナも同じシオン属でよく似ていますので、
写真では区別は難しいのですが、
私は実際に見て、葉の形でシオンと判断しました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
野菊の墓、伊藤左千夫の有名な小説ですね。
ニリンソウさんにも、少し年下の素敵な従弟がおられたのでしょうか?

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
キク科の花はみんなよく似ていて区別が難しいですね。
野菊はこの色が素敵だと私は思います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私にはその歌の記憶がありませんので、調べましたら、
文部省唱歌「野菊」は次のような歌詞でした。

遠い山から吹いて来る
こ寒い風にゆれながら
けだかく、きよくにほふ花
きれいな野菊
うすむらさきよ

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
野菊にはいろんな属があって難しいですね。
見て愉しむ分には関係ありませんが。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私はシオンだと思いますが、いずれにしてもシオン属、
よく似た野菊が沢山ありますね。
よく寄り道されたのは何十年前か知りませんが、
純粋な心で花を見ておられたことと思います。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
錦織公園に沢山咲いていました。
もうしばらく咲いているはずですので、機会があれば見に行って下さいね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
3,4,5の三角形を見ていてこの問題を思いつきました。
斜辺と他の1辺の差が1の直角三角形がこんな性質をもつとは知りませんでした。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
薄紫色の花にはなんとなく気品を感じます。
このような花が道端でたくさん見られるのはいい環境ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
ま、この問題は、綺麗だと感じてくれたらそれでいいです。
私はこの問題を作ったのでなく、授かったと思っています。