[答482] 内心と頂点の距離

[答482] 内心と頂点の距離


　∠A＝90ﾟ の直角三角形ABCにおいて、内心をIとします。

　AB＝3，AC＝4 とすれば、BC＝5，IA＝√2，IB＝√5，IC＝√10 で、IA･IB＝IC になります。

　このように、∠A＝90ﾟ ，AB＜AC で３辺が自然数の直角三角形ABCの内心をIとして、

　IA･IB＝IC が成り立つときの IC＝？

　IC＝√10 以外で、小さいものから３つ求めて下さい。


[解答]

　内接円の半径を r，AB＝r＋s，AC＝r＋t とすると、BC＝s＋t となり、三平方の定理より、

　(s＋t)²＝(r＋s)²＋(r＋t)²、簡単にして t(s－r)＝r(r＋s) です。

　条件より、IA²･IB²＝IC² なので、2r²(r²＋s²)＝r²＋t² 、

　2r²(r²＋s²)(s－r)²＝r²(s－r)²＋t²(s－r)² 、

　2r²(r²＋s²)(s－r)²＝r²(s－r)²＋r²(r＋s)² 、

　2r²(r²＋s²)(s－r)²＝2r²(s²＋r²) 、

　s－r＝1 ，s＝r＋１、t(s－r)＝r(r＋s) より t＝r(2r＋１) となって、

　AB＝2r＋1，AC＝2r(r＋1)，BC＝2r²＋2r＋1 になります。

　AB＝2r＋1 は自然数だから、r は有理数で、

　BC－AB＝2r² は自然数なので、r は自然数で、このとき３辺とも自然数です。

　IC＝√(r²＋t²)＝√{r²＋r²(2r＋1)²}＝r√{1＋(2r＋1)²} です。

　r＝1 のとき IC＝√10 以下、

　r＝2 のとき IC＝2√26 ，r＝3 のとき IC＝15√2 ，r＝4 のとき IC＝4√82 ，…… です。

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