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[答45] 扇形に外接する円の面積の最小値

ヤドカリ

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[答45] 扇形に外接する円の面積の最小値


 面積が8の円にいろいろな中心角の扇形を外接させます。

 このような扇形に外接する円の面積の最小値は?

 ただし、扇形の中心角は0゚より大きく180゚より小さいものとします。




[解答]

 もとの円の半径をaとし、扇形の半径をb,中心角を 2θとします。

 (b-a)sinθ=a より、bsinθ=a(1+sinθ)。

 面積を求める円の半径をRとすると正弦定理より、

 R=b/{2sin(90゚-θ)}=b/{2cosθ}=bsinθ/{2sinθcosθ}=a(1+sinθ)/{2sinθcosθ}、

 πR2=πa2(1+sinθ)2/{4sin2θcos2θ}

 sinθ=t, πR2=f(t) とおくと、0<t<1 で、

 f(t)=8(1+t)2/{4t2(1-t2)}=2(1+t)/{t2(1-t)}

 f'(t)=4(t2+t-1)/{t³(1-t)2} だから、

 0<t<1 で、f(t)は t=(-1+√5)/2 のときに最小。

 f((-1+√5)/2)=11+5√5 。

 このときの扇形の中心角は約 76.3゚ です。

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