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[答484] 3桁の回文数の平方

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答484] 3桁の回文数の平方


 m,n はどちらも3桁の回文数で、m2-n2 を計算すると、n,m の順に並べた6桁の数になります。

 このとき、(m,n)=?


[解答1]

 m=101a+10c,n=101b+10d (a,b,c,d は整数で 1≦b≦a≦9,0≦c≦9,0≦d≦9)とします。

 m2-n2=1000n+m だから、m2-m=n2+1000n 、

 (101a+10c)2-(101a+10c)=(101b+10d)2+1000(101b+10d) ……(1)

 (1)を 101を法として考えると、

  100c2-10c≡100d2+10000d 、-c2-10c≡-d2+d 、c(c+10)≡d(d-1) 、

  c(c+10)≡0,11,24,39,56,75,96,18,43,70 また、d(d-1)≡0,2,6,12,20,30,42,56,72 だから、

  c(c+10)≡d(d-1)=0,56 、(c,d)=(0,0),(0,1),(4,8) です。

 (1)を 10を法として考えると、

  a2-a≡b2

  a2-a≡2,6,0 また、b2≡1,4,9,6,5 だから、

  a2-a≡b2=6 、a=3,8 ,b=4,6 です。

  a≧b だから (a,b)=(8,4),(8,6) です。

 ここまで、絞ると次の6通りの組み合わせしかありません。

 (m,n)=(808,414),(808,616),(343,484),(343,686),(848,484),(848,686) 。

 このうち、m2-n2=1000n+m を満たすものは、(m,n)=(848,484) です。


[解答2]

 m2-n2=1000n+m より、m(m-1)=(n+1000)n 、

 GCD(m,n)=g ,n+1000=ag ,m=bg とおくと、b(m-1)=an ,GCD(a,b)=1 だから、

 n=bh とおくと、m-1=ah になります。

 よって、ag-bh=1000 ,bg-ah=1 になり、(a+b)(g-h)=1001 ,(a-b)(g+h)=999 です。

 a+b=c,a-b=d,g+h=e,g-h=f とおけば、cf=1001,de=999 で、

 これを満たす(c,f),(d,e)は、

 (c,f)=(1,1001),(7,143),(11,91),(13,77),(77,13),(91,11),(143,7),(1001,1) 、

 (d,e)=(1,999),(3,333),(9,111),(27,37),(37,27),(111,9),(333,3),(999,1) 、

 c>d,e>f,4n=2b・2h=(c-d)(e-f)≧400,4m=2b・2g=(c-d)(e+f)<4000 に注意して、

 (c,d,e,f)=(7,3,333,143),(11,3,333,91),(77,27,37,13),(77,37,27,13),
   (91,27,37,11),(91,37,27,11),(143,37,27,7),(1001,333,3,1) 、

 m=(c-d)(e+f)/4 ,n=(c-d)(e-f)/4 だから、

 (m,n)=(476,190),(848,484),(625,300),(400,140),(768,416),(513,216),(901,530),(668,334)

 になります。

 このうち、回文数であるものは、(m,n)=(848,484) です。


☆ 8482-4842=484848 は結構美しい式ですね。

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Comments 18

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古い人  
No title

今日の花は何でしょう。

ヤマソバとかタニソバ、ママコノシリヌグイ、

秋のウナキツカミとか良く似た花が多く有りますね。

中々同定が難しいが写真で観るとタニソバによく似ていますね。

名前に似せぬ可愛い花が咲きますね。ナイス。

Yasuko  
No title

(ヾ(´・ω・`)ノオハヨウ(o´_ _)o)ペコッ
タニソバかしら?ちと難しいです^^;

野暮用があり、今から出かけてきます(/゚ー゚)゚ー゚)ノ
早や起きは辛いですo(*^▽^*)oエヘヘ!

ナイス!

樹☆  
No title

おはようございます。。
ミゾソバでしょうか?・・あ!葉っぱが違いますね。。
ピンクの花が可愛いです^^
ナイスです。。

ニリンソウ  
No title

トゲが下向き?様子と葉から秋のウナギツカミではないかなと思います
ミゾソバより華やかさはないけどいいですね

ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
うすピンク色が優しいですね(o^-^o)
かわいいお花ですね♪ナイス!

uch*n*an  
No title

これは,このサイトではたまに見るパターンの問題で,条件を詰めていけば解けますが,
そこそこ面倒な問題でした。
私の解法は二つで,条件の詰め方,したがって計算の仕方,は少し違いますが,
(解法1)が[解答2],(解法2)が[解答1],と同じ考え方の解法でした。
結果は,確かにキレイですが,個人的には,
(解法1)=[解答2]で8個すべてがそこそこの計算で求まる方に興味を覚えました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
条件を絞り込んで...満たすものを見つけたという地道な方法でしたぁ...^^;...Orz~
熟読玩味ぃ~☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私もよく分からなかったのですが、よくよく調べて見ると、
葉の形からアキノウナギツカミと思います。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
どうやらアキノウナギツカミのようです。
仰る通り、この季節の早起きは辛いですね。
夏の休みの日、遅く起きると暑くて困ったものでした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
葉っぱから、アキノウナギツカミのようです。
花が可愛いのに対して、名前が凄いですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
貴女のブログに載っていたので、ネットでいろいろ調べました。
アキノウナギツカミですね。
へんな名前ですが、ママコノシリヌグイよりはマシです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
野草にも可愛い花がいろいろあります。
人によっては雑草かも知れませんが、私はこんな花が好きです。
ただ、名前が特定できないことが多いのが困ります。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
4個位なら、回文数の条件なしで問題にしたと思います。
そこで、一番美しいものを解答にしたのですが、
回文数でなく、どこかの桁を指定し、答が2つ位でもよかったと思います。
そこそこの計算で全てが求められるのには私も興味を覚えました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
単なる数の計算をしていても、思わぬ発見があります。
問題にするのは苦労しましたが、なんとか出来ました。

こっこちゃん  
No title

こんばんは

この花可愛いのに とげがありますよね

継子のシリヌグイなんて 名前もかわいそうだけど
とげのある花で 尻ぬぐうなんて 今はやりの 子供撃退が
昔からあったのでしようか 涙。。。

ひとりしずか  
No title

アキノウナギツカミ、変わった名前です・・

可愛らしい花~ナイス!

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントを有難う御座います。
よく似た花の、
ママコノシリヌグイの和名は、草の棘だらけの茎や葉から、
憎い継子の尻をこの草で拭くという想像から来ているそうで、
韓国では「嫁の尻拭き草」と呼ぶそうです。
近い存在だと却って利害がぶつかるのは、人も国も同じですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
野草にも可愛いものが多いですね。