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[答487] 対称式の値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答487] 対称式の値


 実数 a,b,c,k について、 a+b+c=k, a2+b2+c2=7k2, a-1+b-1+c-1=k-1

 が成り立つとき、a10+b10+c10=□k10 の□に適する数は?


[解答]

 a+b+c=k より (a+b+c)k2=k3

 a-1+b-1+c-1=k-1 の両辺に kabc をかけて (bc+ca+ab)k=abc 、

 よって、k3-(a+b+c)k2+(bc+ca+ab)k-abc=0 、

 (k-a)(k-b)(k-c)=0 だから a,b,c のうち少なくとも1つは k に等しくなります。

 どれを k としても同様ですので、c=k とすれば、a+b+c=k より b=-a 、b2=a2 になります。

 a2+b2+c2=7k2 だから、2a2+k2=7k2 、a2=3k2 です。

 a10+b10+c10=243k10+243k10+k10=487k10 です。

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Comments 20

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アキチャン  
No title

おはようございます。
これは何のお花でしょう!
ピンク色でかわいいですね(o^-^o)ナイス!

樹☆  
No title

おはようございます。。
これも萩の花でしょうか。
ピンク色のはなびらが優しい感じです。。ナイスです。

Yasuko  
No title

ヾ(@⌒ー⌒@)ノおはよう
萩の花でしょうか
昨日””白の萩を一枝頂きましたよんo(*^▽^*)oエヘヘ!
花瓶に挿してます(o^∇^o)ノ

ナイス!

uch*n*an  
No title

これは,たまに見るパターンの問題で比較的容易でした。
ただ,今回はより解きやすくなっていましたね。
私の解法は三つ。
(解法1)と(解法2)は,定石どおりに基本対称式の値を求め3次方程式に持ち込む解法です。
(解法1)はより一般的に漸化式に持ち込みましたが,
今回の3次方程式は容易に解けてしまうので,その解を使ったのが(解法2)です。
(解法3)は,その解の一つが容易に求まることに気付き,[解答]と同じになりました。
パターン的な問題は何も考えずに勝手に手が動いてしまうのですが,
問題のツボを押さえて解答することは大事だな,と反省。

古い人  
No title

ビンクの萩の花綺麗ですね。

萩の花の種類も多く有りますね。

少し変った華ですね。ナイス

ニリンソウ  
No title

こんにちは~萩? コマツナギ?
優しい色ですね。

種出来始めていまーすね。 ナイス

ヤドカリ  
No title


アレチヌスビトハギ(荒地盗人萩、Desmodium paniculatum)は、マメ科ヌスビトハギ属の雑草。
北アメリカ原産の帰化植物です。果実は、衣服などによくくっつきます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
アレチヌスビトハギです。生命力の強い帰化植物ですが、
花は可愛いですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
アレチヌスビトハギという帰化植物です。
仰る通り、ピンクの花は可愛いですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
白いハギの花もいいですね。
花瓶に1輪あるのはさぞ優雅でしょう。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
虚をついたような問題で失礼しました。
解を求められない問題を工夫して解くのが普通ですから。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとナイス!を有難う御座います。
種類が多くよく分からないハギも多いのですが、
これはアメリカからの帰化植物です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
できた種がひっつきむしとなって衣服につくので、
花のうちに楽しみたいです。

たけちゃん  
No title

求値問題なので,私はあまり「虚をついた」という印象は受けませんでした.

以前,
「a+b+c=k, 1/a+1/b+1/c=1/k であるとき,
奇数nに対して a^n+b^n+c^n=k^nを示せ.」
という問題に出会ったことがあり,
このときは,やや虚をつかれた気がしたものです.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
(k-a)(k-b)(k-c) を計算する貴殿の解答は、経験の賜物、
a,b,c のうち少なくとも1つは k に等しくなることを知っていての式だと
解答を拝見しました。

ヤドカリ  
No title

> 2012/10/12(金) 午後 8:13の鍵コメ様
ご丁寧なコメントを有難う御座いました。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
巧い解答を開陳していただき眼から鱗がまたポロリ ^^☆
これで...

『a+b+c=k, 1/a+1/b+1/c=1/k であるとき,
奇数nに対して a^n+b^n+c^n=k^nを示せ.』

はわかりました^^♪

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
この問題だと最後の3行を書き換えれば簡単ですね。

uch*n*an  
No title

ちなみに,私の解法はいずれも一般的なもので,奇数べきの和の場合も示していました。
偶数べきの和は2乗の和,又はそれと等価なもの,の値に依存しますが,
まぁ,大したことはないですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
本問は、みなさんが、(k-a)(k-b)(k-c)=0 に気づいてくれることを
期待して作成しました。
これに気づかないと解けないような問題にしたかったのですが、
うまくいかず、結局、簡単な問題になってしまいました。