[答490] 連続する25個の整数の2乗の和
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[答490] 連続する25個の整数の2乗の和
連続する25個の整数があって、その2乗の和Sは、ある自然数の2乗のなりました。 このとき S=?
[解答]
連続する25個の整数の中央の数を n とすれば、25個の数は、n,n±1,n±2,……,n±12 だから、
S=n2+{(n+1)2+(n-1)2}+{(n+2)2+(n-2)2}+{(n+3)2+(n-3)2}+……+{(n+12)2+(n-12)2}
=n2+2(n2+12)+2(n2+22)+2(n2+32)+……+2(n2+122)
=25n2+2(12+22+32+……+122)=25n2+2・12(12+1)(2・12+1)/6=25n2+1300 になります。
S=m2 (m≧1) とおけば、m2=25n2+1300 、(m+5n)(m-5n)=1300 です。
(m+5n)-(m-5n)=2m≧2 で、(m+5n)-(m-5n)=10n が 10の倍数であることに注意すれば、
m+5n=130,m-5n=10 または m+5n=10,m-5n=130 しか考えられません。
よって、m=70,n=±12,S=m2=702=4900 です。
実際、02+(±1)2+(±2)2+……+(±24)2=24(24+1)(2・24+1)/6=4900=702 です。
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