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[答490] 連続する25個の整数の2乗の和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答490] 連続する25個の整数の2乗の和


 連続する25個の整数があって、その2乗の和Sは、ある自然数の2乗のなりました。 このとき S=?


[解答]

 連続する25個の整数の中央の数を n とすれば、25個の数は、n,n±1,n±2,……,n±12 だから、

 S=n2+{(n+1)2+(n-1)2}+{(n+2)2+(n-2)2}+{(n+3)2+(n-3)2}+……+{(n+12)2+(n-12)2}

  =n2+2(n2+12)+2(n2+22)+2(n2+32)+……+2(n2+122)

  =25n2+2(12+22+32+……+122)=25n2+2・12(12+1)(2・12+1)/6=25n2+1300 になります。

 S=m2 (m≧1) とおけば、m2=25n2+1300 、(m+5n)(m-5n)=1300 です。

 (m+5n)-(m-5n)=2m≧2 で、(m+5n)-(m-5n)=10n が 10の倍数であることに注意すれば、

 m+5n=130,m-5n=10 または m+5n=10,m-5n=130 しか考えられません。

 よって、m=70,n=±12,S=m2=702=4900 です。

 実際、02+(±1)2+(±2)2+……+(±24)2=24(24+1)(2・24+1)/6=4900=702 です。

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Comments 17

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古い人  
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今日の花は何でしょう。

ブルーのぶら下る様に咲く花判りませんね。

花は秋丁子煮にて居ますね判りません泣き。

ニリンソウ  
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やどかりさん、山の花ですね
タイリンヤマハッカ、カメバヒキオコシどちらかな?
じっと見てるとどちらも違うようですね

ナイス

ひとりしずか  
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変わった形の花ですね~

ナイス!

アキチャン  
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おはようございます。
セージの種ような気がします(o^-^o)
パープルセ-ジ(?)イイ色ですね♪ナイス!

Yasuko  
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ォハョ―+。:.゚ヽ(⋆◑∇◑。)ノ゚.:。+゚―ゥ
サルビアのような~あり得ないですが?(笑)

今日は、お天気がイイのに風が強くて寒いです:(;゙゚'ω゚'):サムィー

ナイス!

樹☆  
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おはようございます^^
開花してないけどヤマエンゴサクでしょうか。。
紫いろの花が可愛いですね。
うふっ。。お花の問題も作りますか?ナイスです。

uch*n*an  
No title

これは,素直に式を立てれば解ける問題でした。
ただ,式の立て方によって,若干ですが,計算が楽かどうか差が出てきますね。
私の解法も原則同じですが,初めは,最初を n,最後を n + 24,として計算しました。
完全平方すれば同じようなものですし,後で気付きましたが,[解答]の方がいいですね。

tsuyoshik1942  
No title

この問題もつまづいてしまいました。
二乗和のn*(n+1)*(2n+1)/6を使用したら、答が出てきませんでした。
最初、整数に負数や0がはいることを見落としました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、アキチョウジです。
花の多い所を撮りましたので、こんな写真になりました。

ヤドカリ  
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ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
アキチョウジです。
花の文化園に一角に野草を植えてあるところがあり、毎年、この時期に見ます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
こんな形の花も時々見ますよ。私はこの色が好きです。

ヤドカリ  
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アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
セージにもこれに似たものもありますね。
花の名前は難しいです。

ヤドカリ  
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yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この前のイヌショウマの近くに咲いていました。
サルビアも種類が多いので、そう言われたら信じてしまいそうです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
アキチョウジです。
○○エンゴサクというのも沢山の種類があって、難しいですね。
花を問題にすると、私の知識不足と、複数の名前を持つ花があることで、
正解/不正解が判定できません。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
かなり時間をかけていろいろ考えた問題ですが、
整数問題は考えるほどに深みにはまり、
結局、簡単になってしまいました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
n*(n+1)*(2n+1)/6 を使いたくなるような問題にしたのは、意地悪でしたか。

ヤドカリ  
No title

> 2012/10/19(金) 午後 8:02の鍵コメ様
お疲れの中でのコメントを有難う御座います。
くれぐれも無理をなさらないようにしてください。
ブログが気分転換になればいいですね。