[答490] 連続する25個の整数の２乗の和

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[答490] 連続する25個の整数の２乗の和


　連続する25個の整数があって、その２乗の和Sは、ある自然数の２乗のなりました。 このとき S＝？


[解答]

　連続する25個の整数の中央の数を n とすれば、25個の数は、n，n±1，n±2，……，n±12 だから、

　S＝n²＋{(n＋1)²＋(n－1)²}＋{(n＋2)²＋(n－2)²}＋{(n＋3)²＋(n－3)²}＋……＋{(n＋12)²＋(n－12)²}

　 ＝n²＋2(n²＋1²)＋2(n²＋2²)＋2(n²＋3²)＋……＋2(n²＋12²)

　 ＝25n²＋2(1²＋2²＋3²＋……＋12²)＝25n²＋2･12(12＋1)(2･12＋1)/6＝25n²＋1300 になります。

　S＝m² (m≧1) とおけば、m²＝25n²＋1300 、(m＋5n)(m－5n)＝1300 です。

　(m＋5n)－(m－5n)＝2m≧2 で、(m＋5n)－(m－5n)＝10n が 10の倍数であることに注意すれば、

　m＋5n＝130，m－5n＝10 または m＋5n＝10，m－5n＝130 しか考えられません。

　よって、m＝70，n＝±12，S＝m²＝70²＝4900 です。

　実際、0²＋(±1)²＋(±2)²＋……＋(±24)²＝24(24＋1)(2･24＋1)/6＝4900＝70² です。

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