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[答491] 三角形の面積比

ヤドカリ

ヤドカリ



[答491] 三角形の面積比


 △ABCの内部に点Pがあって、

 Pを通りBCと平行な直線と辺AB,ACとの交点をそれぞれD,E 、

 Pを通りCAと平行な直線と辺BC,BAとの交点をそれぞれF,G 、

 Pを通りABと平行な直線と辺CA,CBとの交点をそれぞれH,I

 とすれば、面積比が、

 台形ADPH:台形BFPD:台形CHPF=7:8:21 でした。

 このとき、△PIF:△PEH:△PGD=?


[解答]

 CE:EH:HA=x:y:z とすれば、△PIF∽△HPE∽△GDP∽△ADE∽△GBF∽△HIC∽△ABC で、

 相似比は x:y:z:(y+z):(z+x):(x+y):(x+y+z) だから、

 面積比は x2:y2:z2:(y+z)2:(z+x)2:(x+y)2:(x+y+z)2 になります。

 台形ADPH:台形BFPD:台形CHPF

  =(△ADE-△HPE):(△GBF-△GDP):(△HIC-△PIF)=z(2y+z):x(2z+x):y(2x+y) 、

 また、台形ADPH:台形BFPD:台形CHPF=7:8:21 だから、

 z(2y+z)=7k2 ,x(2z+x)=8k2 ,y(2x+y)=21k2 (k>0) とおきます。

 ここで、後に使うために、2x-z>0 を示しておきます。

 3つの式を辺々加えて、(x+y+z)2=36k2 、x+y+z=6k になります。

 また、(x+y)2>21k2 より x+y>(√21)k 、0>(3√21)k-3x-3y 、

 (x+z)2>8k2 より x+z>(2√2)k 、2x+2z>(4√2)k 、2x-z>(4√2)k-3z 、

 辺々加えると、2x-z>(3√21+4√2)k-3(x+y+z)=(√189+√32-18)k>(13+5-18)k=0 です。

 次に、

 y(2x+y)=21k2 より 2z・y(2z・2x+2z・y)=21k2・4z2

 z(2y+z)=7k2 より 2zy=7k2-z2

 よって、(7k2-z2)(4zx+7k2-z2)=84k2z2 、(7・8k2-8z2)(8・4zx+7・8k2-8z2)=8・84・8k2z2

 8k2=x(2z+x) を代入して、

 {7x(2z+x)-8z2}{8・4zx+7x(2z+x)-8z2}=8・84x(2z+x)z2

 (7x2+14xz-8z2)(7x2+46xz-8z2)=672(x+2z)xz2

 49x4+420x3z-140x2z2-1824xz3+64z4=0 、

 (x-2z)(49x3+518x2z+896xz2-32z3)=0 、

 (x-2z){49x3+518x2z+832xz2+32z2(2x-z)}=0 、

 {   } の中は正の数になりますので、x=2z です。

 x(2z+x)=8k2 より、2z・4z=8k2 、z=k 、x=2k です。

 z(2y+z)=7k2 より、k(2y+k)=7k2 、y=3k になります。

 △PIF:△PEH:△PGD=x2:y2:z2=4k2:9k2:k2=4:9:1 です。


[参考] たけちゃんさんのコメントを参考にして

 z(2y+z)=7k2 ,x(2z+x)=8k2 ,y(2x+y)=21k2 (k>0) から、

 x=2k ,y=3k ,z=k と見当をつければ、次のようにも解くことができます。

 y>3k,z>k とすれば z(2y+z)>7k2 、y<3k,z<k とすれば z(2y+z)<7k2 だから、

 (y-3k)(z-k)>0 にはなりません。従って、(y-3k)(z-k)≦0 です。

 z>k,x>2k とすれば x(2z+x)>8k2 、z<k,x<2k とすれば x(2z+x)<8k2 だから、

 (z-k)(x-2k)>0 にはなりません。従って、(z-k)(x-2k)≦0 です。

 x>2k,y>3k とすれば y(2x+y)>21k2 、x<2k,y<3k とすれば y(2x+y)<21k2 だから、

 (x-2k)(y-3k)>0 にはなりません。従って、(x-2k)(y-3k)≦0 です。

 よって、(x-2k)2(y-3k)2(z-k)2≦0 、(x-2k)(y-3k)(z-k)=0 です。

 従って、x=2k または y=3k または z=k です。

 いずれの場合も、z(2y+z)=7k2 ,x(2z+x)=8k2 ,y(2x+y)=21k2 (k>0) から、

 x=2k ,y=3k ,z=k が求められます。

.

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Comments 20

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
ピンク色が綺麗ですね(o^-^o)ナイス!

樹☆  
No title

おはようございます。。
シュウメイギク可愛いですね。気品があり和風の感じが
好きです。。ナイスです。

Yasuko  
No title

゚・✿ヾ╲(。◕‿◕。)╱✿・゚:✲:おはよぉ~♬♫♬
シュウメイギク✿綺麗です!
ピンク・白もこちらでは咲いていますよ(*^_^*)✿

ナイス!

uch*n*an  
No title

これは,見かけによらず面倒な問題でした。実際,[解答]も簡単ではないですね。
私の解法は,計算の仕方が少し違う,もっとストレートに順次変数を消去,ですが,
結局のところ,手間もあまり変わらないし,[解答]と同じようなものなんだろう,と思います。
そうそう,
>=(△ADE-△HPE):(△GBF-△GDP):(△HIC-△PIF)=z(2y+z):x(2z+x):y(2xy+y)
最後は,y(2x+y),ですね (^^;
[参考]は,なるほど,ですが,際立って楽な感じはしないので,
どうせならばちゃんと解きたいな,というのが本音のところです。

なお,今週は,火水木と少し忙しそうなので,暗算で解けない問題だったら遅れるかも,です。

たけちゃん  
No title

[参考]ですが,要は,
「台形の面積比が定まるとき,Pの位置は一意に定まる」…(*)
ことをいかに示すかということですね.
これが意外に面倒で,結局は式で処理してしまいました.
(私はヤドカリさんの示した[参考]よりはかなりざっくりやりました.)
すっきり(*)が示せれば,見えている答えがそのまま結論とわかるのですが.

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
自分の力じゃ解けない式から...^^;

AH=a, BD=b, CF=c とおき...各辺の長さを1としたときの比率とすると...(特殊化して正三角形で考えても同じってことね...^^)

a+b+c=1
a^2+2ac=7/36...36(a+2c)=7/a
b^2+2ab=8/36...36(b+2a)=8/b
c^2+2bc=21/36...36(c+2b)=21/c

(36*3=7/a+8/b+21/c)
a+b+c=1

これら4式を放り込んで...
a=1/6, b=1/3, c=1/2...
(これは有名な式...1/2+1/3+1/6=1 を彷彿とさせますね☆)
△PIF:△PEH:△PGD=1/3^2 : 1/2^2 : 1/6^2 =4 : 9 : 1

となりましたが...途中で奇麗な式が出現したのはたまたま...?
Orz~

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
シュウメイギクはこのごろよく見ます。
やがて菊の季節が訪れるのを教えてくれますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
これが秋の野山で見たら華やかでしょうね。
山を歩き回っておられるニリンソウさんらしいコメントです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
効くほど豪華ではありませんし、茎が細い分、コスモスと菊の間のような気がします。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
気品と言うより、花弁の大きさの不揃いが、私には個性的に見えます。
でも、感じ方は人それぞれ、同じ人でもその時の気持ちで見方が変わりそうです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私もピンクや白をみましたょ。
明日は色違いをアップしようと思っています。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントとミスの指摘を有難う御座います。
早速訂正いたしました。
[参考]はもう少し簡単にならないかと思ったのですが、
見当がつけばこのようにも解けることの紹介です。
私には盲点でした。

なお、解答は6日後にしていますので、時間的に厳しい時は、
ごゆっくりでも、解いて頂ければ、嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
[参考]は貴殿のコメントをもとに、このようにもできることの紹介でした。
これでスッキリ解ければよかったのですが、
きちんと書くと以外に手間がかかりました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
辺の比を2:3:1のような簡単なものにしないと、
問題番号に合わないので、これがギリギリです。
それで、1/2+1/3+1/6=1 に合うようになりました。

こっこちゃん  
No title

こ(^0^)ん(^_^)ば(^▽^)ん(^_^)わ(^○^)

秋明菊 我が家でも咲いてますが

違ったところで見るのも 素敵ですね

はなびらが 大小付いてるのが特徴ですよね ナイス

ひとりしずか  
No title

シュウメイギクこちらでも綺麗にさきはじめました~ナイス!

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
シュウメイギクの花を見ると秋の深まりを感じますね

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、花弁の大きさが不揃いなのがユニークですね。
花の中央も面白いです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
シュメイギクが咲きだすと秋を感じます。
だんだん寒くなっていく合図でもあります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
大変な時のコメント、恐れ入ります。
ブログが気持ちの安らぎになることを願っています。