[答492] 得点の期待値

'


[答492] 得点の期待値

　m，n を３桁の自然数とします。

　1 から n までの自然数が１つずつ書かれた n 枚のカードのうち無作為に１枚取り出すとき、

　取り出したカードに書かれた数が、ある自然数 m 以下ならその数がＡ君の得点になり、

　m より大きければＢ君の得点になるものとします。

　Ａ君の得点の期待値とＢ君の得点の期待値が等しいとき、m，n の値は？


[解答1]

　Ａ君の得点の期待値は、

　1(1/n)＋2(1/n)＋3(1/n)＋……＋m(1/n)＝m(m＋1)/(2n) 、

　Ａ君の得点とＢの君の得点の和の期待値は、

　1(1/n)＋2(1/n)＋3(1/n)＋……＋n(1/n)＝n(n＋1)/(2n) 、

　よって、n(n＋1)＝2m(m＋1) 、4n(n＋1)＋1＝8m(m＋1)＋2－1 、(2n＋1)²－2(2m＋1)²＝－1 です。

　ここで、201≦2m＋1≦1999，201≦2n＋1≦1999 ですので、

　「x²－2y²＝±1」の０以上の整数解( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-107.html )記事により、

　2m＋1＝985，2n＋1＝1393 となって、m＝492，n＝696 です。


[解答2] uch*n*anさんのコメントより

　n(n＋1)＝2m(m＋1)，までは[解答1]と同じ。ここで，

　2n²＋2n＋1＝4m²＋4m＋1，n²＋(n＋1)²＝(2m＋1)²

　つまり，n，n＋1，2m＋1は，直角をはさむ２辺の差が 1 のピタゴラス数になります。

　そこで，[答34]長方形と円#2( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-102.html )の

　ピタゴラス数生成方式　(a，b，c) ⇒ (a＋2b＋2c，2a＋b＋2c，2a＋2b＋3c)　を使うと，

　(2a＋b＋2c)－(a＋2b＋2c)＝a－b，より，

　新たに生成されるピタゴラス数は，元のピタゴラス数と，直角をはさむ２辺の差が変わらないので，

　(3，4，5)から始めると，求める差が 1 の列が生成できます。

　m，nは３桁の自然数なので，201～1999 が求めるもの，に注意して解を探すと，

　(3，4，5) ⇒ (21，20，29) ⇒ (119，120，169) ⇒ (697，696，985) ⇒ (4059，4060，5741) ⇒ ……

　そこで，n＝696，2m＋1＝985，で，m＝492，n＝696，になります。

.