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[答492] 得点の期待値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答492] 得点の期待値

 m,n を3桁の自然数とします。

 1 から n までの自然数が1つずつ書かれた n 枚のカードのうち無作為に1枚取り出すとき、

 取り出したカードに書かれた数が、ある自然数 m 以下ならその数がA君の得点になり、

 m より大きければB君の得点になるものとします。

 A君の得点の期待値とB君の得点の期待値が等しいとき、m,n の値は?


[解答1]

 A君の得点の期待値は、

 1(1/n)+2(1/n)+3(1/n)+……+m(1/n)=m(m+1)/(2n) 、

 A君の得点とBの君の得点の和の期待値は、

 1(1/n)+2(1/n)+3(1/n)+……+n(1/n)=n(n+1)/(2n) 、

 よって、n(n+1)=2m(m+1) 、4n(n+1)+1=8m(m+1)+2-1 、(2n+1)2-2(2m+1)2=-1 です。

 ここで、201≦2m+1≦1999,201≦2n+1≦1999 ですので、

 「x2-2y2=±1」の0以上の整数解( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-107.html )記事により、

 2m+1=985,2n+1=1393 となって、m=492,n=696 です。


[解答2] uch*n*anさんのコメントより

 n(n+1)=2m(m+1),までは[解答1]と同じ。ここで,

 2n2+2n+1=4m2+4m+1,n2+(n+1)2=(2m+1)2

 つまり,n,n+1,2m+1は,直角をはさむ2辺の差が 1 のピタゴラス数になります。

 そこで,[答34]長方形と円#2( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-102.html )の

 ピタゴラス数生成方式 (a,b,c) ⇒ (a+2b+2c,2a+b+2c,2a+2b+3c) を使うと,

 (2a+b+2c)-(a+2b+2c)=a-b,より,

 新たに生成されるピタゴラス数は,元のピタゴラス数と,直角をはさむ2辺の差が変わらないので,

 (3,4,5)から始めると,求める差が 1 の列が生成できます。

 m,nは3桁の自然数なので,201~1999 が求めるもの,に注意して解を探すと,

 (3,4,5) ⇒ (21,20,29) ⇒ (119,120,169) ⇒ (697,696,985) ⇒ (4059,4060,5741) ⇒ ……

 そこで,n=696,2m+1=985,で,m=492,n=696,になります。

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Comments 20

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Yasuko  
No title

☆オ░░ハ░░✾☆“ヽ(。✪‿✪。) ノ”☆✾░░ヨ░░ォ░░✿☆

今朝は冷えましたぁ~:(;゙゚'ω゚'):サムィー
白のシュウメイギクは清楚でイイですね★

ナイス!

uch*n*an  
No title

この問題は,期待値を求めるまでは容易ですが,
その後の方程式を解くのは,ある程度の心得がないと難しいでしょう。
私の解法は二つ。(解法1)は[解答1],(解法2)は[解答2]でした。

tsuyoshik1942  
No title

方程式が解けませんでした。
ヤドカリさんのリコメから、このサイトのどこかでベルの方程式を教えていただいたことを思い出しましたが、そこで留まってしまいました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしも解けず...例のサイトに放り込んでの蛇道でした...^^;...
ヒントから...ペル方程式になることに気づけましたが...こういう問題に現れるんですねぇ...比例関係みたくで求められそうな気がしたんだけど...豈図らんや...!!...難しい問題が横たわってるものね ^^;
uch*n*anさんの解法も言われてみればなるほどですが...1のときは、ペル方程式と結びつくんですね☆
色々勉強になりましたが...難しい問題が続いてますぅ...^^;;...Orz~

ゆうこ つれづれ日記  
No title

白いシュウメイギクがきれいだね~~
私のところは薄いピンクですけど
日々の強い風に花はそばにある電信柱に花びらをぶつけて
怪我だらけです・・・
可哀そうだから移動させようかと思うのですが根が深くて
ちょっと無理でした・・・
きれいなお花の野心に、ナイス☆

アキチャン  
No title

こんにちわ。
白色は良いですね(o^-^o)
だんだんお花が少なくなってきていますが、うれしいですね♪ナイス!

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
陽射しのの当たった花が暖かく感じますね。
秋がどんどん深まっていきます。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
白いシュウメイギク、私も好きです。
中央の黄色のリングもいいですね。金環食みたいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
突然の気温の低下に体力を消耗しているかも知れません。
幸せな気分で、精神的な健康は維持したいですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
シュウメイギクの花弁も多様ですね。
明日はまた違ったものを載せる予定です。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰る通り、今朝は冷えました。
このシュウメイギクは河内長野市の寺ヶ池公園で見たものです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難うございます。
ペルの方程式の、「x^2-2・y^2=±1」はよく出てきます。
解答を作るのに、以前にまとめておいたことが役立っています。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
ペルの方程式の、「x^2-2・y^2=±1」はよく出てきます。
最初からきちんと解くのは大変ですので、以前のまとめを使いました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
結局、整数解を求める問題ですので、ペルの方程式が顔を出すことがあります。
uch*n*anさんの記憶力には私も驚きなのです。
[答34]長方形と円#2は、強く印象に残っておられるのでしょう。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
植物は生活の地を選べないので大変ですね。
痛まない間に見てあげて下さいね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
仰る通り、花が少なくなっていく季節ですね。
だからこそ、今のうちにいろんな花を見ておきたいです。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
白のシュウメイギク 花弁の感じがとても優しいですね ナイス

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
同じ種類でも白い花は清楚な感じを与えます。
陽があたって暖かそうでした。

たけちゃん  
No title

一通り読んだだけなので,読み誤っているかもしれませんが...

「ピタゴラス数生成方式」の記事は,
「直角を挟む2辺の差を変えないピタゴラス数が生成できる」
と言っているだけで,
「直角を挟む2辺の差が1であるピタゴラス数はすべて生成できる」
とは言っていないように思えます.
[解答2]は確かにおもしろく,これで解が1つ得られているのも確かですが,
それしか解がないことは,これで示したことになるのでしょうか.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
厳密にいえば仰る通りです。
変換 (a,b,c) ⇒ (a+2b+2c, 2a+b+2c, 2a+2b+3c) に対して
逆変換 (a,b,c) ⇒ (a+2b-2c, 2a+b-2c, -2a-2b+3c) を考えれば、
直角を挟む2辺の差が1であるピタゴラス数は、
(0,1,1)または直角を挟む2辺の差が1であるピタゴラス数から生成できます。
(0,1,1)と(4,3,5)の間に、存在しないことは簡単に確かめられ、
この系列だけしかありません。
「長方形と円#2」で[補足]が冗長になるのを避けて簡単に書いたことを思い出しました。