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[答493] 無限大形の回転体

ヤドカリ

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[答493] 無限大形の回転体


 xy平面上の曲線 y2=4x2(1-x2) で囲まれた部分を y軸の周りに回転してできる回転体の体積は?


[解答1]

 4x4-4x2+y2=0 より、x2={1±√(1-y2)}/2 だから、 -1≦y≦1 で、

 曲線の外側を x1,内側を x2 とすれば、 x12={1+√(1-y2)}/2 ,x22={1-√(1-y2)}/2 です。

 体積を V とすれば、

 V=∫-11 π(x12-x22)dy=π∫-11 √(1-y2)dy

 ここで、∫-11 √(1-y2)dy は半径が 1 の半円の面積を意味するから、

 V=π・(π/2)=π2/2 になります。


[解答2]

 y≧0 の範囲では y=2x√(1-x2) だから、体積を V とすれば、

 V=2・2π∫01 xydx=4π∫01 2x2√(1-x2)dx

 x=sinθ (-π/2≦θ≦π/2)とおけば、dx=cosθdθ ,x=0 のとき θ=0 ,x=1 のとき θ=π/2 だから、

 V=8π∫0π/2 sin2θ√(1-sin2θ)cosθdθ

  =8π∫0π/2 sin2θ(1-sin2θ)dθ=8π∫0π/2 (sin2θ-sin4θ)dθ

  =8π{(1/2)(π/2)-(3/4)(1/2)(π/2)}=8π(1/2)(π/2)(1-3/4)=π2/2 になります。

☆ ∫x2√(1-x2)dx=(1/4)x(1-x2)3/2+(1/4)∫√(1-x2)dx も使えます。


[解答3]

 x≧0,y≧0 の範囲では x=sinθ とおくと y=2x√(1-x2)=2sinθcosθ=sin2θ 、

 θ=0 に (0,0) ,θ=π/4 に (1/√,1) ,θ=π/2 に (1,0) が対応し、

 0≦θ≦π/4 の部分を x1 ,π/4≦θ≦π/2 の部分を x2 ,体積を V とすれば、

 V=2π{∫01 x22dx-∫01 x12dx}

  =2π{∫π/2π/4 sin2θ(2cos2θ)dθ-∫0π/4 sin2θ(2cos2θ)dθ}

  =2π{-∫π/4π/2 sin2θ(2cos2θ)dθ-∫0π/4 sin2θ(2cos2θ)dθ}

  =-2π{∫0π/2 sin2θ(2cos2θ)dθ}=-2π{∫0π/2 (1-cos2θ)(cos2θ)dθ}

  =π{∫0π/2 (-2cos2θ+1+cos4θ)dθ}=π[-sin2θ+θ+(1/4)sin4θ]0π/2=π2/2 になります。


[解答4]

 x≧0,y≧0 の範囲では x=sinθ とおくと y=2x√(1-x2)=2sinθcosθ=sin2θ 、

 θ=0 に (0,0) ,θ=π/2 に (1,0) が対応し、体積を V とすれば、

 V=2・2π∫01 xydx=4π∫0π/2 sinθsin2θcosθdθ

  =8π∫0π/2 sin2θ(1-sin2θ)dθ=8π∫0π/2 (sin2θ-sin4θ)dθ

  =8π{(1/2)(π/2)-(3/4)(1/2)(π/2)}=8π(1/2)(π/2)(1-3/4)=π2/2 になります。

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Comments 20

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古い人  
No title

花は一見わかりませんが葉の形からコスモスですね。

私は八重花のコスモス始めて見ましたよ。

綺麗ですねナイス。

ちょろくん  
No title

初めまして。ランダム・ブログからお邪魔させて頂きます。
突然で失礼ですが、私の描いた四コマ漫画「フツーの田中クン」を
是非見に来て下さい。きっとストレス解消になると思います。
よろしくお願い致します。

Yasuko  
No title

゚・✿ヾ╲(。◕‿◕。)╱✿・゚:✲:おはよぉ~♬♫♬
今日は秋晴れのよいお天気になりそうです♪

八重のコスモスですか?ピンクがなんとも綺麗です(*^_^*)✿

ナイス!

uch*n*an  
No title

これは,回転体の体積の基本が分かっていればいいので,
比較的容易な問題,いい練習問題,でしょう。
私の解法は[解答1]でした。もちろん計算の仕方はいろいろあるだろうな,とは思いましたが,
あまり追求はしませんでした。
ただ,[解答2]や[解答4]のような 2π∫xydx は触れておくべきだったな,と思いました。
今回はあまり威力を発揮しませんが,便利な場合も結構ありますし。
なお,この手法は,俗称でしょうが,バームクーヘン積分,ということがあるそうです。
なかなか言い得て妙だと思います。

tsuyoshik1942  
No title

熟達者には容易な問題のようですが、積分計算に不如意な自分には厳しい問題でした。
例によって、概算値を求め、それに沿うような答を推定したのですが、πが二乗で関与することになかなか思い至りませんでした。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
八重のコスモスなんですね♪
私はまだ観たことがありませんf(^。^; ナイス!

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
当方では、今日も、朝は寒いですがよく晴れています。
秋の花は素敵なのですが、だんだん少なくなっていくので淋しいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
「小春日和」そんな言葉が似合う季節になってきましたね。
近所に咲いていたコスモスですが、少しでも和んで頂けたらと思います。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
近所に咲いていましたが、私もここ以外で八重のコスモスは見ていません。
珍しいので写真を撮りました。

ヤドカリ  
No title

ちょろくん様、2回目のコメントを有難うございます。
2回目で「初めまして」の挨拶は、
私のブログ全く印象に残らなかったからでしょうか。
遺憾です。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
もう、おはよぉ~ の時間ではありませんが、
その時間からずっと秋晴れのよいお天気でしたね♪
清々しい1日でした。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
私も「バームクーヘン積分」は、なかなか言い得て妙だと思います。
小学校で習った円の面積は、中心角の小さい扇形に分けて、
長方形(平行四辺形)に近づくことで示されたと思いますが、
バームクーヘンにすると、
扇形の面積=弧の長さ×半径 であることが簡単に分かりますし、
先々週の浮浪の館の問題には有効ですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
私にとっては、体積の概算値から π^2 を導くことの方が難しいです。
よく思いつかれたものだと驚きました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
近所に咲いていましたが、私もここ以外で八重のコスモスは見ていません。
お忙しい折、無理なさらないように。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
解法1で納得...♪
わたしゃ...ほんまにいい加減なごとある...^^;...Orz...
円:(x-1/2)^2+y^2=1...の回転体ドーナツの2倍になるんですねぇ ...
重心が(1/2,0) ではなさそうなので...面積は円の2倍よりも小さそうね...?...^^

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
[解答1]で解かれていた方が多かったです。基本的な解き方です。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
コスモスの八重咲き 珍しいですねー
私はまだ一度も観た事がないです
観て見たいな~

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
近所で見たコスモスですが、私も他で見たことがありません。
珍しいので撮って載せました。

uch*n*an  
No title

>扇形の面積=弧の長さ×半径 であることが簡単に分かりますし
おっと,
扇形の面積=弧の長さ×半径÷2
又は
扇形の面積=弧の長さの半分×半径
又は
扇形の面積=扇形の中央の弧の長さ×半径
かな? (^^;

それと,概算値から正しい値を導き出すtsuyoshik1942さんの才能には驚嘆。
真面目な話,こういう才能は,実際の研究で実験値から理論式を想定する才能にも通じるので,
大切な能力だと思っています。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、更なるコメントを有難うございます。
「扇形の面積=弧の長さ×半径÷2」の「÷2」を書き忘れました。
算数的表現では、三角形の面積と同じでこれがいいですね。
私もtsuyoshik1942さんの才能には驚嘆しています。