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[答47] 指数方程式

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答47] 指数方程式


 3・2x+220-3x=27 を満たす実数 x は?




[解答1]

 2x=t とすると、

 3t+220・t-3=27

 3t4-128t3+220=0

 (t-32)2(3t2+64t+1024)=0

 t=32, 2x=32, x=5


[解答2]

 (3・2x+220-3x)/4=25

 相加・相乗平均の関係により、

 (2x+2x+2x+220-3x)/4≧4√(2x・2x・2x・220-3x)

 (2x+2x+2x+220-3x)/4≧25

 等号が成り立つのは、2x=220-3x のときで、x=5



[解答3]

 (3・2x+220-3x)/4=25

 A(x, 2x), B(20-3x, 220-3x), P(5, (3・2x+220-3x)/4) とします。

 A,Bが異なる2点であれば、線分ABを1:3に内分する点がPであることを示しますが、

 (3・2x+220-3x)/4=25 より、Pもy=2x のグラフ上にあります。

 y=2x のグラフ上に1直線上の3点をとれませんので、A,B,Pは一致します。

 したがって、x=20-3x=5 となって、x=5。

☆ この方法であれば、y=f(x) のグラフの凹凸(f''(x)の符号)が一定のとき、

 3f(x)+f(20-3x)=4f(5) の実数解は、x=5 であることがわかります。

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Comments 4

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スモークマン  
No title

感想
(1) は...無理...^^;
(2) は巧いですね♪
(3) はブラボーですが...思いつきもしなかった...^^;
いろんな視点で見えるって...頭が柔らかい証拠ですね!!
整数解を一つだけ求めるなら...2進法が簡明だと...^^v

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
整数解であれば、右辺が 2^y でも解けますね。
忘れた頃に出題しようかな!と思います。

uch*n*an  
No title

なるほど。[解答3]は言われれば納得です。勉強になります。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、[解答3]が作題の出発点です。
三角関数にしようかと思ったのですが、
上に凸や下に凸の部分に限定すれば答がバレそうで止めました。