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[答495] 三角形の面積の最小値

ヤドカリ

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[答495] 三角形の面積の最小値


 AB=18,BC=24,CA=30 の △ABC の辺 BC,CA,AB 上に点 P,Q,R をとって、△PQR を作ります。

 △PQR を辺 BC,CA,AB の周りに回転してできる回転体の体積がすべて等しいとき、

 △PQR の面積の最小値は?


[解答]

 パップス・ギュルダンの定理より、

 これらの回転体の体積は、△PQR の面積とその重心の移動距離を掛けたものだから、

 △PQR の重心と 辺 BC,CA,AB の距離が等しいことになります。

 したがって、△PQR の重心と △ABC の内心が一致することになります。

 また、∠B=90゚ だから、△ABC の内接円の半径は (AB+BC-CA)/2=6 になります。

 今、座標平面上にこの図形を置き、

 A(0,18),B(0,0),C(24,0),P(p,0),Q(4q,-3q+18),R(0,r) とすれば、

 △ABC の内心が (6,6) だから、

 (p+4q)/3=6 ,(-3q+18+r)/3=6 すなわち p=-4q+18 ,r=3q になります。

 また、p≧0 だから 0≦q≦9/2 です。

 P(-4q+18,0),Q(4q,-3q+18),R(0,3q) となって、

 ベクトル PQ=(8q-18,-3q+18),PR=(4q-18,3q) だから、

 △PQR=|(8q-18)・3q-(-3q+18)(4q-18)|/2=3|(4q-9)q-(-q+6)(2q-9)|

  =18|q2-5q+9|=18|(q-5/2)2+11/4|=18(q-5/2)2+99/2

 となって、最小値は 99/2 です。

 最小になるのは、q=5/2 より、P(8,0),Q(10,21/2),R(0,15/2) のときです。


[備考] たけちゃんさんのコメントに触発され一般化

 以下、ベクトルは太字で表すことにします。

 パップス・ギュルダンの定理より、

 これらの回転体の体積は、△PQR の面積とその重心の移動距離を掛けたものだから、

 △PQRの重心Gと 辺 BC,CA,AB の距離が等しいことになり、Gは△ABCの内心になり、

 AG=pAB+qAC とおきます。

 Pが辺をBCを x:(1-x) に、Qが辺CAを y:(1-y) に、Rが辺ABを z:(1-z) に内分する点とすれば、

 AP=(1-x)AB+xACAQ=(1-y)ACAR=zAB になり、

 Gが△PQRの重心だから、AG={(-x+z+1)/3}AB+{(x-y+1)/3}AC です。

 よって、p=(-x+z+1)/3,q=(x-y+1)/3 、z=x+3p-1,y=x-3q+1 になります。

 △PQR/△ABC=(△ABC-△ARQ-△BPR-△CQP)/△ABC=1-z(1-y)-x(1-z)-y(1-x)

  =1-(x+3p-1)(-x+3q)-x(-x-3p+2)-(x-3q+1)(1-x)

  =3x2+(6p-6q-3)x-9pq+6q

  =3(x+p-q-1/2)2-3(p2+pq+q2-p-q+1/4)

 従って、x=-p+q+1/2 のとき 最小値 -3(p2+pq+q2-p-q+1/4) です。

 次に、△ABCで、BC:CA:AB=a:b:c とすれば、Gが△ABCの内心だから、

 AG={b/(a+b+c)}AB+{c/(a+b+c)}AC ですので、

 p=b/(a+b+c),q=c/(a+b+c) です。

 x=-p+q+1/2 のとき x=-b/(a+b+c)+c/(a+b+c)+1/2=(3c+a-b)/{2(a+b+c)},

 x:(1-x)=(3c+a-b):{2(a+b+c)-(3c+a-b)}=(3c+a-b):(3b-c+a),

 y=x-3q+1=(3c+a-b)/{2(a+b+c)}-3c/(a+b+c)+1=(3a+b-c)/{2(a+b+c)},

 y:(1-y)=(3a+b-c):{2(a+b+c)-(3a+b-c)}=(3a+b-c):(3c-a+b),

 z=(3c+a-b)/{2(a+b+c)}+3b/(a+b+c)-1=(3b+c-a)/{2(a+b+c)},

 z:(1-z)=(3b+c-a):{2(a+b+c)-(3b+c-a)}=(3b+c-a):(3a-b+c) になり、

 最小値は

 -3(p2+pq+q2-p-q+1/4)

  =-3{b2/(a+b+c)2+bc/(a+b+c)2+c2/(a+b+c)2-b/(a+b+c)-c/(a+b+c)+1/4}

  =-3{4b2+4bc+4c2-4b(a+b+c)-4c(a+b+c)+(a+b+c)2}/{4(a+b+c)2}

  =3(2bc+2ca+2ab-a2-b2-c2)/{4(a+b+c)2}

 まとめると、 △ABCで、BC:CA:AB=a:b:c とすれば、

 △PQRの最小値は、 〔3(2bc+2ca+2ab-a2-b2-c2)/{4(a+b+c)2}〕・△ABC 、

 このとき、

 PはBCを (3c+a-b):(3b-c+a),QはCAを (3a+b-c):(3c-a+b),RはABを (3b+c-a):(3a-b+c)

 に内分する点になります。

.

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Comments 20

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スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
パップスギュルダンでは...重心の位置の回転の長さを考えなきゃいけないから...この△では、それぞれの辺までの高さが異なるので合わないのではないかと思ったり...^^;...?
間違ってたらすいません...Orz~

スモークマン  
No title


すいません...Orz...わたしの間違いでした...^^;...
重心と内心が一致する△であればいいわけでしたぁ...☆
but...一致する△の描き方がわからない...^^;;

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私はキバナホトトギスを見たことがありません。
一度見たいなぁと思っています。
仰るように、ホトトギスも種類が多く、見わけが出来ません。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
花弁の模様に特徴があり、面白いですね。
自然の造形にはいつも感心させられます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
今年は見ていませんが、私は真っ白なホトトギスを見たこともあります。
斑点がなくてもホトトギスはすぐに分かります。
この写真は、木漏れ日を浴びて輝いているところを撮りました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
しないといけないことに目処がついたようですね。
これからホトトギスを撮りに行って下さい。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
回転体の体積は、ダメもとで、
まずパップス・ギュルダンの定理を考えて見るのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ホトトギスの花は何度か撮りましたが、
木漏れ日を浴びたこれが一番魅力的に撮れました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
木漏れ日を浴びたホトトギスが撮ってほしいと言っているようでした。
このホトトギスに出会えたことに感謝です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
大学入試にパップス・ギュルダンの定理を使っていいのかどうかは知りませんが、
この問題では使わないと大変な計算になりそうです。
ところで、座標を使うと表現が簡単になりますね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
当方では今の時期にホトトギスがよく見られます。
木漏れ日を浴びて綺麗な姿を見せてくれました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
重心と内心が一致するように三角形を描く方法は、解答の通り、
0≦q≦9/2,p=-4q+18 ,r=3q として
P(p,0),Q(4q,-3q+18),R(0,r) を決めることになります。
最小になるのは、q=5/2 より、P(8,0),Q(10,21/2),R(0,15/2) のときです。

たけちゃん  
No title

一般の場合について,三角形PQRの面積の最小値が
三角形ABCのどんな割合を占めるかを考えてみました.

ミスをしている可能性もありますが,
三角形ABCの三辺の長さがa,b,cであるとき,三角形PQRの面積の最小値は
3(2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)/(4(a+b+c)^2)*△ABC となるみたいです.

本問では11/48*216=99/2,正三角形の場合は全体の1/4倍となり,正しそうな感じです.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
描かれている内容は正しいです。
検証できましたので、記事に追加しました。

ひとりしずか  
No title

24日角館に行き、武家屋敷の庭に3色のホトトギスの花が

大きく咲いていました~
撮ってきましたが、孫の看病でUPし損ねています

蕾も沢山あって見事な~!ナイス!
こちらは今年あまりよくありません・・

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ホトトギスは何度か出会いましたが、私は今年、白に出会っていません。
貴女がホトトギスをアップされるのを期待しています。

たけちゃん  
No title

私の採った方法も提示しておきます.
以下,ベクトルはV(a),V(AB)などのように表します.

Cを位置ベクトルの基点とし,A(V(a)),B(V(b)),
三角形PQRの重心であるべき定点をI(V(i)),V(i)=αV(a)+βV(b)とします.

辺AB上の点RがR((1-t)V(a)+tV(b)) であるとき,
BC上の点PはP((3β-t)V(b)),CA上の点QはQ((3α-(1-t))V(a))となり,
V(IP)=-αV(a)+(2β-t)V(b),V(IQ)=(2α-1+t)V(a)-βV(b) となります.

たけちゃん  
No title

△PQR=3△IPQであり,△IPQの隣接2辺を表すベクトルが基底V(a),V(b)で表されたので,
△IPQ=|αβ-(2α-1+t)(2β-t)|△ABCが得られます.
絶対値の中身はtの2次関数で下に凸,0にはならないので常に正であり,
t=(-2α+1+2β)/2=-α+β+1/2のとき最小となります.
最小値は,αβ-(2α-1-α+β+1/2)(2β+α-β+1/2)=-α^2-β^2-αβ+α+β-1/4.
(ここまでは手計算でやりましたが,ここでめげました.
以下は,機械の力を借りて...)

たけちゃん  
No title

α=a/(a+b+c),β=b/(a+b+c) を代入して,
絶対値の中身の最小値は(2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)/(4(a+b+c)^2)となるので,
結局,△PQRの面積の最小値は,
3(2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)/(4(a+b+c)^2)△ABCとなると思います.

tの値が得られているので,
このときのP,Q,Rが辺をどんな比に分けるかも計算は可能です.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、詳しい説明を有難う御座います。
結局は上の[参考]と等価な内容だと思います。
うまく設定しないと、このような一般化は計算が大変なことになりますね。