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[答496] 約数の総和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答496] 約数の総和


 p,q を異なる素数,A=p4q とします。 Aの正の約数の総和が 2A に等しいとき、A の値は?


[解答1]

 (p4+p3+p2+p+1)(q+1)=2p4q 。

 ここで、GCD(p,p4+p3+p2+p+1)=1 かつ p4+p3+p2+p+1 は奇数だから、

 GCD(2p4,p4+p3+p2+p+1)=1 、

 よって、q+1 は 2p4 の倍数、q は p4+p3+p2+p+1 の倍数です。

 また、GCD(q,q+1)=1 だから、2p4 は q+1 の倍数、p4+p3+p2+p+1 は q の倍数です。

 従って、q+1=2p4 、q=p4+p3+p2+p+1 です。

 辺々減じて、

 1=p4-p3-p2-p-1 、p4-p3-p2-p-2=0 、(p-2)(p3+p2+p+1)=0 、

 p は素数だから、p=2 で、q=24+23+22+2+1=31 で、これも素数です。

 よって、A=24・31=496 になります。


[解答2]

 (p4+p3+p2+p+1)(q+1)=2p4q より、

 (q+1)/q=2p4/(p4+p3+p2+p+1) 、 1+1/q=1+(p4-p3-p2-p-1)/(p4+p3+p2+p+1) 、

 q=(p4+p3+p2+p+1)/(p4-p3-p2-p-1)=1+2(p3+p2+p+1)/(p4-p3-p2-p-1)

  =1+2(p3+p2+p+1)(p-1)/{(p4-p3-p2-p-1)(p-1)}=1+2(p4-1)/(p5-2p4+1) 、

 よって、 p=2 のとき q=31 、p=3 のとき q=1+80/41(不適) です。

 p≧5 のとき、 (p4-1)/(p5-2p4+1)<p4/(p5-2p4)=1/(p-2) だから、

 q<1+2/(p-2)<2 となって、q は素数になりません。

 結局、A=24・31=496 です。


[参考]

 Aの正の約数の総和が 2A に等しいとき、Aを完全数といいます。

 A が偶数の完全数であれば、A=2n-1・m (nは2以上の自然数,mは奇数) 、mの約数の総和をSとすれば、

 Aの約数の総和は、(2n-1)・S=2n・m 、(2n-1)・S=(2n-1)・m+m だから、

 S=m+m/(2n-1) になります。

 ここで、m/(2n-1) は自然数だから m の約数となって、

 m の約数の総和は、m と m/(2n-1) の2つの和で表されます。

 従って、m は素数で、m/(2n-1)=1 です。

 よって、A=2n-1(2n-1) 、ただし 2n-1 が素数のとき となります。

 なお、2n-1 が素数になるのは、nが素数である必要があり、この形の素数をメルセンヌ素数といいます。

 nが素数であっても、2n-1 が常に素数とは言えず、211-1=2047=23・89 です。

 nが次の値のとき完全数になります。(現在知られている47個です)

 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253,
 4423,9689,9941,11213,19937,21701,23209,44497,86243,110503,132049,216091,
 756839,859433, 1257787,1398269,2976221,3021377,6972593,13466917,20996011,
 24036583,25964951,30402457,32582657,37156667,42643801,43112609

 奇数の完全数については、実例が見つかっていませんし、存在しないことを証明されていません。

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Comments 20

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古い人  
No title

今日の花はガウラですね。

此花は蝶が飛んでいるようで綺麗ですね。

シベに特徴が有りますね。

ピンクも有りますね、ナイス。

樹☆  
No title

おはようございます。。
みたことはあるのですが名前・・知りませんでした。
ガウラというのですね♪
白い小花が風に揺れてる姿を想像したら、古い人が
仰るように白い蝶に見えそう♪
ナイスです。

ニリンソウ  
No title

ガウラも寒くなっても元気な花ですね
揺れる花なのに花芯に上手くピントが入っています

ナイス

こっこちゃん  
No title

おはようございます

ガウラの花と飛んでゆきたいですね
素敵な夢の世界に 近頃のニュースで暗い事ばかり憂鬱ですね

素敵なガウラに ナイス

Yasuko  
No title

ォハョ―+。:.゚ヽ(⋆◑∇◑。)ノ゚.:。+゚―ゥ

ガウラ✿私の大好きなお花です!
小さいけど蝶のようでシベが長くて蝶が飛んでいるようです♪

ナイス!

uch*n*an  
No title

これは,[参考]にあるように完全数に関する問題でした。
もちろん,それを知らずとも,約数,倍数,互に素,などを使って解けますし,
そうしたことを使う練習としてはよい問題だと思います。
ただ,完全数の知識があれば,実は,何も考えずに解けてしまいますね (^^;
私の解法は[解答1]と同じでした。
なお,偶数の完全数の証明は,最初は例のオイラーによるものらしいですが,
[参考]にあるように意外と簡単です。
一方,奇数の完全数はあるのかないのか...
そもそも,有限個なのか,無限個なのか,も分かっておらず,簡単そうで奥の深い問題です。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
ハクチョウソウに似てますね(o^-^o)ナイス!
今日は寒くなってますねf(^。^;

ひとりしずか  
No title

うまく撮れていますね~!

陽射しを上手く捉えていますネ
ナイス!

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
こういう問題大好きです☆
とっつきやすいのに数学者の頭脳を拒んでる問題がゴロゴロしてるのが何とも不思議...自然数って概念を人間様が作り出したからなんでしょかねぇ...^^;
れいの"ABC理論"ってやつで攻め落とせるんだろか知ら...?...Orz~

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
ガウラの花でしょうか
まだ咲いているのですね
大好きな花です(^_-)-☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
今年はごういうわけか、白いガウラはよく見るのですが、
ピンクにはなかなかお目にかかれません。
来年の楽しみにしたいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
白い蝶に見えて当然、白いガウラは白蝶草ともいいます。
旨く名付けられていますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
綺麗に咲き、風になびくガウラに出会って、何枚か写真を撮れば、
うまくピントが合った写真がありました。
花期が長い花は機会が多いという意味では撮り易いです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
暗いニュースって何をイメージされているのかな?
私は尼崎の事件を思い出しました。
日南海岸にでも、飛んで行きたいです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
貴女にとっては、白蝶草の方が馴染みある名前でしょうか?
形と色合いが本当に蝶のようですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
この問題番号では完全数しかないと思っての出題です。
8128番までの到達は不可能です。(笑)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ハクチョウソウという呼び名もありますね。
白いガウラにはピッタリの呼び方だと思います。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
昼下がりの公園で撮りました。
日射しが花々にに届く様子はいいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
整数の問題には未到峰が沢山ありますね。
数学の神様から見れば、人智が及ぶのはほんの一部だと思います。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
当方では、いまでも時々見ます。
私にとっても好きな花のひとつです。