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[答501] 小数の途中の3桁が510

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答501] 小数の途中の3桁が510


 1/501 を小数に直すと、途中の3桁に 510 が現れますが、最初の 510 は小数第何位からの3桁?


[解答1]

 1/501=1/(500+1)=0.002/(1+0.002) だから、

 初項が 0.002,公比が -0.002 の無限等比級数の和になります。

 1/501=0.002-0.000004+0.000000008-0.000000000016+0.000000000000032-…… となって、

 (2・10-3)9=512・10-27,(2・10-3)10=1024・10-30 だから、

 小数第30位からの上6桁は、512000-1024=510976 (実際は次の繰り上がりで 510978) になります。

 従って、最初の 510 は小数第25位からの3桁です。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

 1/501 の計算は余りを 10 倍していくので,小数第 n 位の計算は 10n を割ることになります。

 そこで,小数第 n 位から 510 となるには,その一つ前の 10n-1 を 501 で割った余りが,

 [0.510・501]+1=[255.51]+1=255+1=256 になっているはずです。

 つまり,mod 501 で, 10n-1≡256 となっているはずで,このような最小の n を求めることになります。

 そこで, 101≡10 ,102≡100 ,103≡1000≡-2 ,

 104≡-2・10 ,105≡-2・100 ,106≡-2・1000≡(-2)2≡4 ,

  …………

 1024≡(-2)8≡256

 より,n-1=24,n=25,つまり,小数第25位からの3桁,になります。


☆ 1/501 は 0.のあと、次のような166桁の循環節をもつ純循環小数になります。

 00199600798403193612774451097804391217564870259481037924151696606786427145708582834
 33133732534930139720558882235528942115768463073852295409181636726546906187624750499

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Comments 20

There are no comments yet.
スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
素敵な発想ね♡
これを...
1/(499*501)=1/(500^2-1)=(1/500^2)/(1-(1/500^2))
とすれば...初項...1/500^2 で、公比が1/500^2 だから...

510000<=4^a*499<=511000 を満たすものを求めればよい ^^
a=5 が満たす...
つまり...5*6=30
30-6+1=25 桁目
でもいいですね...^^
無限級数の和の秀逸な発想を魅せていただいてあと付けですけど...Orz~

Yasuko  
No title

☆。◕‿◕。)ノ♡☆,。・:*:・゚おはよ~☆彡
実が生るのは知らなかったわ^^;
私も少し苦手です。・゚゚・(>д<;)・゚゚・。 ヒィッ

ナイス!

ニリンソウ  
No title

マムシグサかな?
赤い顔に目があるようにも見えますね!
動けない植物の次世代への知恵にも感心します

ナイス

uch*n*an  
No title

この問題は,桁数の多い電卓を叩けばすぐに答えは分かりますし,
どう解くか,というよりも,どう計算するか,という感じがします。
私の解法は二つ。(解法2)は[解答]と同じでした。
(解法1)は,より割り算の基本に立ち返った解法でした。ご参考までに書いておきましょう。

uch*n*an  
No title

(解法1)
1/501 の計算は余りを 10 倍していくので,小数第 n 位の計算は 10^n を割ることになります。
そこで,小数第 n 位から 510 となるには,その一つ前の 10^(n-1) を 501 で割った余りが,
[0.510 * 501] + 1 = [255.51] + 1 = 255 + 1 = 256
になっているはずです。つまり,mod 501 で,
10^(n-1) ≡ 256
となっているはずで,このような最小の n を求めることになります。
そこで,
10^1 ≡ 10,10^2 ≡ 100,10^3 ≡ 1000 ≡ -2,
10^4 ≡ -2 * 10,10^5 ≡ -2 * 100,10^6 ≡ -2 * 1000 ≡ (-2)^2 ≡ 4,

10^24 ≡ (-2)^8 ≡ 256
より,n-1 = 24,n = 25,つまり,小数第25位からの3桁,になります。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

テンナンショウの実ですね~~
そう言えば今年は出合えなかったわ~~。
我が家のヒロハテンナンショウは実をつけたことなく
枯れてしまいます。
ナイス☆

こっこちゃん  
No title

こんにちは

マムシクサですね

マムシが来ると怖いですね” ナイス

スモークマン  
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グーテンターク ^^
そっかぁ!!
uc*n*anさんの解法がやっとわかりましたぁ☆
たしかに割り算の原理だとそう考えられますね ^^
目から鱗♪

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
テンナンショウ属の花はあまり目立ちませんが、赤い実は目立ちます。
不思議な植物ですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
サトイモ科テンナンショウ属の花は独特の形をしています。
これはムロウマムシグサの実だと思います。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
式は問題を解く時の都合に合わせて変形するものですが、
うまく式変形出来たときは嬉しいものですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
テンナンショウ属の実は山道でよく見かけますよ。
花はあまり5月頃に咲く目立ちませんので、余計に印象に残ります。
でも、ちょっとグロテスクですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、2度にわたるコメントを有難う御座います。
分数を小数に直すときは、約数の見分け方と同様、
数の性質によって全然違うのが面白いです。
499,501 は 500±1 でよく似た性質がありますので、セットで作りました。

ヤドカリ  
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yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
花も一風変わった形をしていますが、実も独特ですね。
これは、岩湧山の登山道で見たものですが、花の文化園でも見られます。
苦手ですか。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
マムシグサです。
細かなことは分からないのですが、岩湧山の登山道で見られるのは、
ムロウマムシグサという種類のようです。
植物も工夫して、精一杯生きているのでしょうね。

ヤドカリ  
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uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
貴殿の(解法1)は無限和と違う方法なので、
解答に追加しないといけないと思いながら失念していました。
遅ればせながら、本文に追加させて頂きました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
テンナンショウ属の花もいろいろあって面白いですね。
以前記事にしました。
http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/25130400.html

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
マムシが好むのかどうか知りませんが、見方によっては蛇のようにグロテスクですね。
変わった植物であることは確かです。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
マムシ草の実もこんなに真っ赤に熟すると綺麗ですね
正直なところ此の花は子供のころは怖かったです

マムシがとぐろを巻いた様に見えちのでしょうネ

実が緑から段々赤くなって来ると綺麗ですね
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
異常に目立って怖いかも知れません。
緑から赤に変わる時はビッシリつまっていますね。