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[答48] 周囲の長さが一定の三角形の個数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答48] 周囲の長さが一定の三角形の個数


 3辺の長さがすべて自然数で、周囲の長さ(3辺の長さの和)が 48 の三角形は何種類?

 合同なものは1種類と数えます。




[解答]

 一般的に解くために周囲の長さをnとします。

 3辺の長さを a,b,c(a≦b≦c) とすると、a+b+c=n で、a+b>c。

 a≦b より、b=a+d (d≧0) としておきます。

 b≦c より、a+2b≦a+b+c 、3a+2d≦n 、3a≦n-2d 。

 a+b>c より、2a+2b>a+b+c 、4a+2d>n 、4a>n-2d 。

nが偶数のとき、

 3a≦n-2d<4a より、a=1 にはならないから、a≧2 。

 ここで、n-2d=k とすれば、kは偶数で、0<k≦n で、k/4<a≦k/3 。

 kが決まると、aは、(ガウス記号を使って) [k/3]-[k/4] 個の値が考えられます。

 k=2,4,6,……,n だから、S(f(k))=f(2)+f(4)+f(6)+……+f(n) とすれば、

 求める値は、S([k/3]-[k/4])。

 k=2,4,6,8,10,12,…… のとき、

   [k/3]-(k-1)/3=-1/3,0,1/3,-1/3,0,1/3,…… ですので、

   S([k/3]-(k-1)/3)=-1/3 または 0 ───(ア)

 k=2,4,6,8,10,12,…… のとき、

   [k/4]-(k-1)/4=-1/4,1/4,-1/4,1/4,-1/4,1/4,…… ですので、

   S([k/4]-(k-1)/4)=-1/4 または 0 ───(イ)

 また、S((k-1)/12)={1+3+5+…+(n-1)}/12

   S((k-1)/12)=n2/48 ───(ウ)

 (ア)-(イ)+(ウ) を計算すると、

 S([k/3]-[k/4])=n2/48+α (ただし、α=-1/12,-1/3,1/4,0)

 S([k/3]-[k/4])=[n2/48+1/4]=[(n2+12)/48] 種類です。


 n=48 のとき、[(482+12)/48]=48 種類です。


更に、

 2≦a≦b≦c と 1≦a-1≦b-1≦c-1 は同値。

 a+b>c のとき、a+b+c>2c 、両辺ともに偶数だから、

 a+b+c>2c+1 、a+b>c+1 、(a-1)+(b-1)>c-1。

 逆に、(a-1)+(b-1)>c-1 のとき、a+b>c だから、

 a+b>c と (a-1)+(b-1)>c-1 は同値。

 (a-1)+(b-1)+(c-1)=n-3 ですので、

 周囲が偶数の三角形と、辺が1ずつ短い(周囲が奇数の)三角形は1対1に対応します。

 従って、種類の数は等しくなります。 



★ まとめると、

 nが偶数のとき [(n2+12)/48] 種類、nが奇数のとき [{(n+3)2+12}/48] 種類

 となります。
.

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Comments 9

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ヤドカリ  
No title

周囲の長さと三角形の種類の数が等しくなるのは48だけです。
遊び心で、第48問の出題にしました。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
これもそうだったのね...^^;
浮浪の館・・・堂々の第1位おめでとうございます♪
わたしゃ...いまだわからず...^^;

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
浮浪の館、初めての1位でした。
問題文を読んで分母が偶数、11/21 はないと思って、安心して解いた結果です。

スモークマン  
No title

1/8 の riddle やっと解読できて...わかりました♪
今回はみなさん悩まれたようですね・・・
やどかりさんはさすがです ^^v

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、分かって良かったですね。
私にとっては普段と変わらない問題でした。
人それぞれ解き方に癖がありますから。

uch*n*an  
No title

やどかりさん,浮浪の館での1位おめでとうございます。
私は,最近は,10分遅れ,20分遅れでの参加が当たり前になってしまったので,
順位はどうでもいいのですが,今見たら,2009/11/21 22:31:20 で9位とは驚き。
この時間だと,普段は,30位ぐらいなんですけどね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、有難う御座います。
私も10分以上の時間がかかったので、順位は気にしていませんでした。
10時の直前にみっちの隠れ家の出題に気付き、浮浪の方を優先して解きました。
日付や番号から答が推測できないことと、運が良かったのが勝因でした。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
「星の王子様」に出てくる赤いバラはきっとこんな
美しい花だったに違いない・・なんて思ってみていました。。。

ヤドカリ  
No title

川の横に1輪だけ見事に咲いていましたので、カメラを向けました。