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[答507] 正六角形と正方形

ヤドカリ

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[答507] 正六角形と正方形


 図のように、1辺の長さが4の正六角形を5つの部分に分け、繋ぎ合わせて正方形を作りました。

 このとき、2つの直角三角形(薄黄色と水色)の面積の和は?


[解答1]

 まず、正方形の面積は正六角形の面積と等しく、6・4√3=24√3 です。

 正六角形の図の下の部分の2つの直角三角形の内角をα,βとすると、α+β=120゚ で、

 正方形の1辺は、

 4sinα+4sinβ=8sin{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}=8sin60゚cos{(α-β)/2}=(4√3)cos{(α-β)/2} 、

 また、3つの三角形でできる台形の 上底+下底 は、

 4cosα+4cosβ=8cos{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}=8cos60゚cos{(α-β)/2}=4cos{(α-β)/2} 、

 よって、台形の面積/正方形の面積=〔2cos{(α-β)/2}〕/〔(4√3)cos{(α-β)/2}〕=1/(2√3) 、

 台形の面積は 24√3/(2√3)=12 、求める面積は 12-4√3 になります。


☆ 正方形の面積は、48cos2{(α-β)/2}=24{1+cos(α-β)}=24√3 、cos(α-β)=√3-1 、

 2つの直角三角形の面積は、

 (1/2)(4sinα)(4cosα)=8sinαcosα=4sin2α,(1/2)(4sinβ)(4cosβ)=8sinβcosβ=4sin2β 、

 2つの直角三角形の面積の和は、

 4(sin2α+sin2β)=8sin(α+β)cos(α-β)=8sin120゚cos(α-β)=(4√3)cos(α-β)

  =(4√3)(√3-1)=12-4√3 としても求められます。

 また、α>β とすれば、

 sin2(α-β)=1-cos2(α-β)=1-(√3-1)2=2√3-3=(4-2√3)(√3)/2 、

 R=4√3 とすれば、 sin(α-β)=(√3-1)R/√2=(√6-√2)R/2 、

 2つの直角三角形の面積の差は、

 4(sin2α-sin2β)=8cos(α+β)sin(α-β)=8cos120゚sin(α-β)=-4sin(α-β)=-2(√6-√2)R 、

 よって、2つの直角三角形の面積は、次のようになります。

 4sin2α=6-2√3-(√6-√2)(4√3) ,4sin2β=6-2√3+(√6-√2)(4√3) 。


[解答2] uch*n*anさんの解答を参考にして

 薄黄色の直角三角形の直角を挟む辺の,短い方を a,長い方を b ,

 水色の直角三角形の直角を挟む辺の,短い方を c,長い方を d,とします。

 三平方の定理より,a2+b2=16 ……(1) ,c2+d2=16 ……(2) ,

 ピンクの三角形の面積は,(b+c)(a+d)/2-ab/2-cd/2=4√3 より,ac+bd=8√3 ,

 正方形の面積=正六角形の面積は,(a+d)2=24√3 より,a2+d2+2ad=24√3 ……(3) です。

 2つの直角三角形を斜辺でくっつけると, a,d のなす角が 60゚ ,b,c のなす角が 120゚ になり,

 直角どうしを結ぶ対角線の長さを x とすれば,トレミーの定理により,

 4x=ac+bd=8√3 だから,x=2√3 ,x2=12 です。

 余弦定理より,a2+d2-2ad・cos60゚=x2,b2+c2-2bc・cos120゚=x2

 a2+d2-ad=12 ……(4) ,b2+c2+bc=12 ……(5) です。

 (3)-(4) より, 3ad=24√3-12 ,ad=8√3-4 になり,

 (1)+(2)-(4)-(5) より, ad-bc=8 ,bc=ad-8=8√3-12 になります。

 求める面積は,

 (1/2)ad・sin60゚+(1/2)bc・sin120゚=(√3/4)(ad+bc)=(√3/4)(8√3-4+8√3-12)=12-4√3 になります。


[解答3]

 下図のように、xy平面上に置き、

 O(0,0),A(2√3,2),B(-2√3,2),C(6a,6) とし、正方形の1辺を c とします。

 1辺の長さが4の正三角形の面積は、(√3/4)・42=4√3 です。

 正六角形の面積は c2=6・4√3=24√3 です。

 c2=OC2=(6a)2+62=36(a2+1) だから、

 √(a2+1)=c/6 になります。

 次に、OC の傾きは 1/a だから、AD,BE の傾きは -a で、

 直線ADは、y-2=-a(x-2√3) 、a(x-2√3)+y-2=0 、

 直線BEは、y-2=-a(x+2√3) 、a(x+2√3)+y-2=0 、

 となって、ヘッセの公式により、O(0,0)との距離は、

 OD=2(a√3+1)/√(a2+1)=12(a√3+1)/c ,

 OE=2(-a√3+1)/√(a2+1)=12(-a√3+1)/c です。

 直角三角形2個の面積の和は、上部の台形から二等辺三角形を除いて、

 (OD+OE)c/2-4√3=(24/c)c/2-4√3=12-4√3 です。


☆ 12-4√3=5.071796769724490…… です。

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Comments 20

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古い人  
No title

今日の花は此の時期に咲くのはネリネですか。

ダイヤモンドリリーとも言われていますね。
彼岸花科の球根植物ですね。
ナイス。

アキチャン  
No title

おはようございます。
綺麗な色ですね(o^-^o)ナイス!

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは...グリコのマークでしたぁ...^^;
三角関数の式変形もできず...かといって...uch*n*anさんの方法にも気づけず...悶々でした...@@...
こんな算額のような問題をよく思いつかれるものですね☆ Orz~

uch*n*an  
No title

これは,パズルのような問題なので,算数っぽく解けるかな,と思ったのですが,
なかなか面倒な数学問題のようですね。
私の解法は四つ。最初は,できるだけ初等幾何で解くことを目指したので,
[解答2]の最初の a,b,c,d の四つの式を初等幾何で求めそれを解く方針でした。
(解法1)は,地道に変数を減らし d だけの2次方程式を導きこれを使う解法でした。
残念ながら d 自体は少し面倒な式になるので,計算に若干の工夫が必要になります。
(解法2),(解法3)は,途中の計算にさらに工夫をしたものです。
ただ,初等幾何からは少し離れてしまっています。ご参考までに(解法2)を示しておきましょう。
(解法4)は,[解答2]の元になった解法です。差異はそれほど大きくはないと思います。
ポイントはトレミーの定理を使うかどうかで,
[解答2]では,トレミーの定理を使い ad,bc を求めていますが,
(解法4)では,使わずに直接に ad + bc の方程式を導き解く,という解法でした。

uch*n*an  
No title

(解法2)
a^2 + b^2 = 16,c^2 + d^2 = 16,(a + d)^2 = 24√3,ac + bd = 8√3
までは[解答2]と同じ。ここで,
ac + bd = 8√3 = 4 * 4 * √3/2 = √(a^2 + b^2) * √(c^2 + d^2) * cos(30°)
なので,(a,b),(c,d) をベクトルと思えば,図より d > b > a > c も考慮して,
(c,d) は (a,b) を原点の回りに 30°回転したものになります。そこで,
c = (√3 * a - b)/2,d = (a + √3 * b)/2

uch*n*an  
No title

d の式を (a + d)^2 = 24√3 に代入して,
(a + (a + √3 * b)/2)^2 = 24√3,(√3 * a + b)^2 = 32√3,
3a^2 + 2√3 * ab + b^2 = 32√3,ab = (96 - 3√3 * a^2 - √3 * b^2)/6
これより,
求める面積 = ab/2 + cd/2 = ab/2 + (√3 * a - b)/2 * (a + √3 * b)/2 * 1/2
= (√3 * (a^2 - b^2) + 6ab)/8
= (√3 * (a^2 - b^2) + 6 * (96 - 3√3 * a^2 - √3 * b^2)/6)/8
= (96 - 2√3 * (a^2 + b^2))/8
= (96 - 32√3)/8
= 12 - 4√3 = 5.07…
になります。

こっこちゃん  
No title

(^コ^)(^ン^)(^ニ^)(^チ^)(^ワ^)

ヒガンバナ科の 花なんですね

今頃見れて 嬉しいですね ナイス

樹☆  
No title

こんばんは。
この花はなに?
すごく可愛いです^^やどかりさんに撮ってもらう花は
いつもきれいで、想いが通じてるいるようです。
ナイスです。。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、ネリネです。
ヒガンバナに似ていて、この時期に綺麗に咲きますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ネリネの花の色は私も綺麗だなぁと思います。
花の少ないこの時期に咲く貴重な花です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
難しいのは、どちらの直角三角形の面積も4乗根が出現することでしょうか。
計算の工夫が必要な問題です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメント(解法2)を有難う御座います。
[解答2]は貴殿の解き方とほとんど同じですが、
トレミーの方が具体的な数値で、
このブログに来られる方が見易いと思ってのことです。
失礼しました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ヒガンバナに似ていますが、この時期に見られる嬉しい花です。
去年、このネリネを知って、すぐ覚えました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
私が撮る花は、撮り易いように咲いてくれていることが多いです。
ネリネは素敵な花ですね。

tsuyoshik1942  
No title

自分は「解答3」もどきでした。もっとも、「ヘッセの公式」の部分はちまちま順序を追って計算しました。

この問題そのものにも感銘しましたが、正6角形を切り出し、正方形を作る手法にも感じ入りました。
なお、この切り方において、右下図のC(6a,6)のaを任意に取り、AD,BEをOCと直角にとれば、長方形が出来上がり、その特殊例が正方形と考えてもいいですよね!

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
リネリアでしょうか
とても綺麗な赤ですネ
わが家のリネリア今年は残念ながら咲かなかったです

きれいなリネリア?にナイス☆

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
このような断ち合わせはパズルの本で見たことがあります。
正方形の辺に4乗根がでてくる中で、比較的簡単に表されるものがないかと考え、
この問題にしました。
長方形にすることは成程です。私は考えていませんでした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
リネリアを調べてみましたが、よく分かりませんでした。
ネリネの花は目立っていました。

ニリンソウ  
No title

ネリネは寒くなってから咲くのですね
そういえばピンクの花をみたようですがこんな赤は
始めてみる気がします

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ヒガンバナの季節が終わって久しいですが、よく似たネリネの季節になりました。
ピンクのネリネもありますので、今日その写真を使おうと思います。