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[答508] 循環小数の途中の3桁

ヤドカリ

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[答508] 循環小数の途中の3桁


 1/389 を小数に直すと、0.00257…… で、388桁の循環節をもつ純循環小数になります。

 途中の3桁に 997 が現れますが、その前の3桁は?


[解答1]

 997 が現れる直前の余りは 0.997・389=387.833 以上で 0.998・389=388.222 未満だから 388 です。

  ( 実際、388÷389=0.997429…… です )

 よって、10の累乗から 388 を引いた 999……999612 が 389の倍数になり、

 999……999612÷389 の下3桁が求める答になります。

 商の一の位は 8 になり、999……999612-389・8=999……996500 だから、

 商の十の位は 0 、商の百の位は 5 、よって、508 になります。


[解答2] たけちゃんさんの解答より

 [解答1]同様,小数表示で 997 が現れる直前の,389で割った余りは「388」。

 その3桁手前での余りを x (1≦x≦388)とおく。

 以下,mod 389 で考えて,

 1000x≡388 ,222x≡388 , 111x≡194 , 999x≡1746≡190 と変形できて,

 x≡1000x-999x≡388-190≡198,つまり x=198 を得る。

 198/389=0.508997……より,求める3桁は「508」。


[背景]

 この循環小数の途中の3桁は、1/389,2/389,3/389,……,388/389 の小数第1位~小数第3位と

 一致し、その差である 1/389>1/1000 だから、すべて異なります。

 また、2,3,5 を因数としてもたない自然数を分母とする分数が、偶数桁の循環節をもつ場合、

 その循環節の前半と後半の和は 999……999 と、9が並びます。

 ⇒ 純循環小数の偶数桁の循環節( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-926.html )参照。

 この場合は、前半の194桁と後半の194桁との和は 9が194個並ぶ数です。

 前半の最初の3桁が 002 だから、997 は後半の最初の3桁ですので、

 この問題では、前半の最後の3桁を求めることになります。

 循環節は、999……999999÷389 で、まず 999……999999÷389 の下3桁を求めると、

 商の一の位は 1 になり、999……999999-389・1=999……999610 だから、

 商の十の位は 9 、999……999610-389・90=999……964600 だから、商の百の位は 4 、

 よって、491 になり、前半の下3桁は 999-491=508 としても求められます。


☆ 実際の循環節を前半と後半に分けて書けば、次のようになります。

 0025706940874035989717223650385604113110539845758354755784061696658097686375321336760925
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Comments 20

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古い人  
No title

今日の花も色違いですね。

何か炎がめらめら燃えるようですね。
ネリネも色が豊富ですね。
ナイス。

樹☆  
No title

おはようございます。
朝にぴったりのお花です。
陽の光を浴びて一日がんばろうかなと思わせてくれますね。元気になれます。
ありがとうございます^^
ナイスです。

ニリンソウ  
No title

こんなオレンジがあるんですね
種類の豊富なネリネは花の文化園でしょうか。
今朝もこんな色の朝焼けでした。

ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
この色もいいですね♪
ネリネのお花の色合いは、どれも品を感じさせますね(o^-^o)
ナイス!

uch*n*an  
No title

これは,[501]の[解答2]のように考えれば難しくはないでしょう。
気付かないと一苦労かもですが。
私の解法は二つ。
途中の計算の仕方は少し違いますが,(解法1)が[解答1],(解法2)が[解答2]でした。
[背景]は,なるほど,ですね。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~
今日からブログ復帰をします。
またよろしくお願いいたします。

お花はなんと言う種類かしら?
クンシランではないですよね。
とても可愛いお花だわ~~
ヤドカリさんが育てているの?
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしは...背景3かな...上二つはわからず...^^;

1/389=0.(m)(m)...
10^388/389=(m).(m)(m)...=(m)+1/389
10^388-1=999...999=389*(m)
つまり、(m)のどの桁に389をかけても999にならなきゃいけないので...
997*389=387833
これの最後が999になるためには...166が足されてる...
それ以外は無理なので...繰り上がりはないことがわかるので...
387 が999になるには...999-387=612が足されなくてはならない...
a*389の下3桁が、612になるものを筆算で探すと...508となる...^^;

Orz~

tsuyoshik1942  
No title

最初、手がかりがつかめず手惑いました。
その後、「501、解答2」に思い当たりました。

「背景」まだ未消化です。先に、自分には、「510」の取組みがのこっています。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
優しい色ですね
こんなやさしいオレンジもあるのですネ
ネリネはどれくらいの色の種類があるのでしょうネ
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
同じネリネでもオレンジ色は暖かい感じがします。
豊富な色が目を愉しませてくれます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このネリネで1日頑張れる気分になられたのはいい事です。
心を癒されたり、励まされたり、……、花の効用ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、花の文化園です。ネリネをたくさん見ました。
この色の空も素敵ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ネリネは色が豊富で、仰る通り、どれも品のある色ですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
この背景を基に作問しました。
002+997=999 に気づいた解答をくれた方はいませんでした。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ブログの復帰、道東の雄大な風景の記事を期待しております。
ところで、この花は、ヒガンバナ科の植物で、ネリネです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
「a*389の下3桁が、612になるものを筆算で探す」のは、
結局[解答1]だと私は思いました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
参照記事をご覧になれば、背景はお分かりになると思います。
循環小数には私が知らないことが多くあり、何かを思いつけば、問題になります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
調べて見ると、
「ネリネ属にはおよそ30種があり、栽培や交配などがなされており、
現在では広く分布している」
だそうです。
交配で何種類かは分からないですね。

こっこちゃん  
No title

超 おはようございます

すてきな色の ネリネですね
何時も癒されます ナイス

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
同じネリネでも、オレンジ色は暖かく感じます。
今月もよろしくお願いします。