[答508] 循環小数の途中の3桁
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[答508] 循環小数の途中の3桁
1/389 を小数に直すと、0.00257…… で、388桁の循環節をもつ純循環小数になります。
途中の3桁に 997 が現れますが、その前の3桁は?
[解答1]
997 が現れる直前の余りは 0.997・389=387.833 以上で 0.998・389=388.222 未満だから 388 です。
( 実際、388÷389=0.997429…… です )
よって、10の累乗から 388 を引いた 999……999612 が 389の倍数になり、
999……999612÷389 の下3桁が求める答になります。
商の一の位は 8 になり、999……999612-389・8=999……996500 だから、
商の十の位は 0 、商の百の位は 5 、よって、508 になります。
[解答2] たけちゃんさんの解答より
[解答1]同様,小数表示で 997 が現れる直前の,389で割った余りは「388」。
その3桁手前での余りを x (1≦x≦388)とおく。
以下,mod 389 で考えて,
1000x≡388 ,222x≡388 , 111x≡194 , 999x≡1746≡190 と変形できて,
x≡1000x-999x≡388-190≡198,つまり x=198 を得る。
198/389=0.508997……より,求める3桁は「508」。
[背景]
この循環小数の途中の3桁は、1/389,2/389,3/389,……,388/389 の小数第1位~小数第3位と
一致し、その差である 1/389>1/1000 だから、すべて異なります。
また、2,3,5 を因数としてもたない自然数を分母とする分数が、偶数桁の循環節をもつ場合、
その循環節の前半と後半の和は 999……999 と、9が並びます。
⇒ 純循環小数の偶数桁の循環節( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-926.html )参照。
この場合は、前半の194桁と後半の194桁との和は 9が194個並ぶ数です。
前半の最初の3桁が 002 だから、997 は後半の最初の3桁ですので、
この問題では、前半の最後の3桁を求めることになります。
循環節は、999……999999÷389 で、まず 999……999999÷389 の下3桁を求めると、
商の一の位は 1 になり、999……999999-389・1=999……999610 だから、
商の十の位は 9 、999……999610-389・90=999……964600 だから、商の百の位は 4 、
よって、491 になり、前半の下3桁は 999-491=508 としても求められます。
☆ 実際の循環節を前半と後半に分けて書けば、次のようになります。
0025706940874035989717223650385604113110539845758354755784061696658097686375321336760925
4498714652956298200514138817480719794344473007712082262210796915167095115681233933161953
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9974293059125964010282776349614395886889460154241645244215938303341902313624678663239074
5501285347043701799485861182519280205655526992287917737789203084832904884318766066838046
272493573264781491
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