[答508] 循環小数の途中の３桁

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[答508] 循環小数の途中の３桁


　1/389 を小数に直すと、0．00257…… で、388桁の循環節をもつ純循環小数になります。

　途中の３桁に 997 が現れますが、その前の３桁は？


[解答1]

　997 が現れる直前の余りは 0．997･389＝387．833 以上で 0．998･389＝388．222 未満だから 388 です。

　 ( 実際、388÷389＝0．997429…… です )

　よって、10の累乗から 388 を引いた 999……999612 が 389の倍数になり、

　999……999612÷389 の下３桁が求める答になります。

　商の一の位は 8 になり、999……999612－389･8＝999……996500 だから、

　商の十の位は 0 、商の百の位は 5 、よって、508 になります。


[解答2] たけちゃんさんの解答より

　[解答1]同様，小数表示で 997 が現れる直前の，389で割った余りは「388」。

　その３桁手前での余りを x (1≦x≦388)とおく。

　以下，mod 389 で考えて，

　1000x≡388 ，222x≡388 , 111x≡194 , 999x≡1746≡190 と変形できて，

　x≡1000x－999x≡388－190≡198，つまり x＝198 を得る。

　198/389＝0.508997……より，求める3桁は「508」。


[背景]

　この循環小数の途中の３桁は、1/389，2/389，3/389，……，388/389 の小数第１位～小数第３位と

　一致し、その差である 1/389＞1/1000 だから、すべて異なります。

　また、2，3，5 を因数としてもたない自然数を分母とする分数が、偶数桁の循環節をもつ場合、

　その循環節の前半と後半の和は 999……999 と、9が並びます。

　⇒ 純循環小数の偶数桁の循環節( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-926.html )参照。

　この場合は、前半の194桁と後半の194桁との和は 9が194個並ぶ数です。

　前半の最初の３桁が 002 だから、997 は後半の最初の３桁ですので、

　この問題では、前半の最後の３桁を求めることになります。

　循環節は、999……999999÷389 で、まず 999……999999÷389 の下３桁を求めると、

　商の一の位は 1 になり、999……999999－389･1＝999……999610 だから、

　商の十の位は 9 、999……999610－389･90＝999……964600 だから、商の百の位は 4 、

　よって、491 になり、前半の下３桁は 999－491＝508 としても求められます。


☆ 実際の循環節を前半と後半に分けて書けば、次のようになります。

　0025706940874035989717223650385604113110539845758354755784061696658097686375321336760925
　4498714652956298200514138817480719794344473007712082262210796915167095115681233933161953
　727506426735218508
　9974293059125964010282776349614395886889460154241645244215938303341902313624678663239074
　5501285347043701799485861182519280205655526992287917737789203084832904884318766066838046
　272493573264781491

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