[答513] 下3桁の値
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[答513] 下3桁の値
ガウス記号で表される数 [10999513/499] の下3桁は?
[解答1]
499は素数だから、フェルマーの小定理より 10498≡1 (mod 499) です。
999513=498・2007+27 に注意して、
10999486=(10498)2007≡1 (mod 499) だから、(10999486-1)/499 は自然数、
(10999513-1027)/499=10999513/499-1027/499 は 1027 の倍数、
よって、[10999513/499] と [1027/499] は下3桁(下27桁)が一致します。
ここで、2x8 を (x-2) で割った余りは 2・28=512 だから、商を Q(x) とすれば、
Q(x) は 整数係数の整式で、 2x8=(x-2)Q(x)+512 です。
両辺に x/(x-2) をかけて、2x9/(x-2)=xQ(x)+512x/(x-2)=xQ(x)+512+1024/(x-2) 、
x=1000 を代入して、2・1027/998=1000Q(1000)+512+1024/998=1000Q(1000)+513+26/998 、
[1027/499]=1000Q(1000)+513 だから、下3桁は 513 です。
[解答2]
[解答1]で述べた通り、[10999513/499] と [1027/499] は下3桁が一致します。
103≡2 (mod 499) に注意すれば、1024≡28=256 (mod 499) だから、
(1024-256)/499 は自然数、(1027-256000)/499=1027/499-256000/499 は 1000の倍数、
よって、[1027/499] と [256000/499] は下3桁が一致します。
[256000/499]=513 が求める答になります。
また、
103≡2 (mod 499) に注意すれば、1027≡29=512≡13 (mod 499) 、
よって、[1027/499]=(1027-13)/499 になり、
99……99999987-499・3=99……99998490 、99……99998490-499・10=99……99993500 、
99……99993500-499・500=99……99744000 と、下位から計算すると下3桁は 513 です。
[解答3]
499は 10と互いに素な素数だから、1/499 の循環節の桁数は 498の約数(実際は498桁)になります。
[10999513/499] の下3桁は 1/499 の小数第999511位~小数第999513位の数で、
999513=498・2007+27 だから、 1/499 の小数第25位~小数第27位の数と一致します。
1/499=2/(1000-2)=2・10-3/(1-2・10-3) だから、
これは、初項 2・10-3,公比 2・10-3 の無限等比級数の和になります。
2・10-3+4・10-6+8・10-9+16・10-12+32・10-15+64・10-18+128・10-21+256・10-24
+512・10-27+1024・10-30+……
=0.002004008016032064128256513026…… となって、
求める答は 513 です。
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