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[答513] 下3桁の値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答513] 下3桁の値


 ガウス記号で表される数 [10999513/499] の下3桁は?


[解答1]

 499は素数だから、フェルマーの小定理より 10498≡1 (mod 499) です。

 999513=498・2007+27 に注意して、

 10999486=(10498)2007≡1 (mod 499) だから、(10999486-1)/499 は自然数、

 (10999513-1027)/499=10999513/499-1027/499 は 1027 の倍数、

 よって、[10999513/499] と [1027/499] は下3桁(下27桁)が一致します。

 ここで、2x8 を (x-2) で割った余りは 2・28=512 だから、商を Q(x) とすれば、

 Q(x) は 整数係数の整式で、 2x8=(x-2)Q(x)+512 です。

 両辺に x/(x-2) をかけて、2x9/(x-2)=xQ(x)+512x/(x-2)=xQ(x)+512+1024/(x-2) 、

 x=1000 を代入して、2・1027/998=1000Q(1000)+512+1024/998=1000Q(1000)+513+26/998 、

 [1027/499]=1000Q(1000)+513 だから、下3桁は 513 です。


[解答2]

 [解答1]で述べた通り、[10999513/499] と [1027/499] は下3桁が一致します。

 103≡2 (mod 499) に注意すれば、1024≡28=256 (mod 499) だから、

 (1024-256)/499 は自然数、(1027-256000)/499=1027/499-256000/499 は 1000の倍数、

 よって、[1027/499] と [256000/499] は下3桁が一致します。

 [256000/499]=513 が求める答になります。

 また、

 103≡2 (mod 499) に注意すれば、1027≡29=512≡13 (mod 499) 、

 よって、[1027/499]=(1027-13)/499 になり、

 99……99999987-499・3=99……99998490 、99……99998490-499・10=99……99993500 、

 99……99993500-499・500=99……99744000 と、下位から計算すると下3桁は 513 です。


[解答3]

 499は 10と互いに素な素数だから、1/499 の循環節の桁数は 498の約数(実際は498桁)になります。

 [10999513/499] の下3桁は 1/499 の小数第999511位~小数第999513位の数で、

 999513=498・2007+27 だから、 1/499 の小数第25位~小数第27位の数と一致します。

 1/499=2/(1000-2)=2・10-3/(1-2・10-3) だから、

 これは、初項 2・10-3,公比 2・10-3 の無限等比級数の和になります。

 2・10-3+4・10-6+8・10-9+16・10-12+32・10-15+64・10-18+128・10-21+256・10-24
  +512・10-27+1024・10-30+……

  =0.002004008016032064128256513026…… となって、

 求める答は 513 です。

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Comments 19

There are no comments yet.
樹☆  
No title

かわいい!!
真夜中で、頭が回らなくて名前が出てこないです。
(そうじゃなくても出ません。笑)
先のほう、つんつんしてみたい。。ナイスです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ヒメツルソバをよく見かけるようになりました。
可愛い花が沢山の花が咲いていると見ごたえがあります。

ニリンソウ  
No title

おはようございます
ヒメツルソバ、写真でみると可愛いですねうちの子も
頑張ってますよ。
つくしみたいです ナイス

古い人  
No title

ヒメツルソバ居間何処も咲いてますね。

我が家では斑入りのヒメツルソバが咲いていますよ。
葉に斑があります花は一緒ですね。
ナイス。

アキチャン  
No title

おはようございます。
可愛いですね~♪(o^-^o)ナイス!

こっこちゃん  
No title

おはようございます

ヒメツルソバ 石垣などに群生して 可愛い花ですよね
散歩で びっくりするほど見かけます
好きなヒメツルソバに ナイス

tsuyoshik1942  
No title

類似問が記憶に残っていたので助かりました。
もっとも、記憶に残っていたのは、「似た問題があった」という事柄で、肝心な解法については前の解答欄をひも解きました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
ガウス記号で下3桁だから...10^3以上で考えたんですが...
フェルマーの...10^(p-1)≡1をいい加減に..10^(p+1)≡1 で計算してました...循環説が...p-1桁なんだからいかに理解がバラバラだったかを知らされました...^^;
答えは...同じく...513になったのは偶然?それとも...いつもの計算ミスだったんだろか...?...^^;
解答3は面倒だと勝手に思ってしまってたけど...一番速い方法だったかもね☆...Orz~

uch*n*an  
No title

この問題は,以前に類題があったので,それを思い出せれば難しくはないでしょう。
私の解法は二つ。(解法1)は[解答3],(解法2)は[解答2]でした。
なるほど。[解答1]のように,文字式で評価して値を代入,というのもありますね。
勉強になりました。

ひとりしずか  
No title

こんなに沢山密生してて、しかも花付きも良いですね~

ナイス!

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
冬はヒメツルソバ、春は土筆で始まるのでしょうか。
たくさん咲くのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このごろよく見る花ですね。
葉に斑入りのものがあるのですか。私は葉まで気をつけて見ていませんでした。
今度からきちんと見ようと思います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
可愛い花が密生していました。
しゃがみ込んで撮りました。
色は似ていますが、皇帝ダリアと撮る時の姿勢は全然違います。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
形や色に似合わず、逞しい咲き方をしますね。
よく見かける花ですが、花の少ない時期だけに印象に残ります。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
たくさん出題していると、どうしても同じような問題を思いついてしまいます。
以前の問題を参考にされるのも、ブログの管理人としては有難いです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
2の累乗に近い数なので、どうしてもこんなことを思いついてしまいます。
ところで、別々に得た知識がつながるのは嬉しいことですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
以前に類題があって、ためらいもあったのですが、
他の問題が思いつかなかったことと、[解答1]を思いついたので、
出題にふみきりました。
アイデアが続かないこともあり、今後は類題が増えてくるかも知れません。
その時はご容赦のほどをお願いします。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
ヒメツルソバの花 こんなに沢山密集して咲いていると見事ですネ
ピンクの可愛いボンボンの様な花
寒さにも強く頑張っている姿に元気を貰えますね ナイス☆

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
この花は、小さく可愛いのに、なかなか逞しいですね。
生える場所と時期がそう思わせます。