[答513] 下３桁の値

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[答513] 下３桁の値


　ガウス記号で表される数 [10⁹⁹⁹⁵¹³/499] の下３桁は？


[解答1]

　499は素数だから、フェルマーの小定理より 10⁴⁹⁸≡1 (mod 499) です。

　999513＝498･2007＋27 に注意して、

　10⁹⁹⁹⁴⁸⁶＝(10⁴⁹⁸)²⁰⁰⁷≡1 (mod 499) だから、(10⁹⁹⁹⁴⁸⁶－1)/499 は自然数、

　(10⁹⁹⁹⁵¹³－10²⁷)/499＝10⁹⁹⁹⁵¹³/499－10²⁷/499 は 10²⁷ の倍数、

　よって、[10⁹⁹⁹⁵¹³/499] と [10²⁷/499] は下３桁(下27桁)が一致します。

　ここで、2x⁸ を (x－2) で割った余りは 2･2⁸＝512 だから、商を Q(x) とすれば、

　Q(x) は 整数係数の整式で、 2x⁸＝(x－2)Q(x)＋512 です。

　両辺に x/(x－2) をかけて、2x⁹/(x－2)＝xQ(x)＋512x/(x－2)＝xQ(x)＋512＋1024/(x－2) 、

　x＝1000 を代入して、2･10²⁷/998＝1000Q(1000)＋512＋1024/998＝1000Q(1000)＋513＋26/998 、

　[10²⁷/499]＝1000Q(1000)＋513 だから、下３桁は 513 です。


[解答2]

　[解答1]で述べた通り、[10⁹⁹⁹⁵¹³/499] と [10²⁷/499] は下３桁が一致します。

　10³≡2 (mod 499) に注意すれば、10²⁴≡2⁸＝256 (mod 499) だから、

　(10²⁴－256)/499 は自然数、(10²⁷－256000)/499＝10²⁷/499－256000/499 は 1000の倍数、

　よって、[10²⁷/499] と [256000/499] は下３桁が一致します。

　[256000/499]＝513 が求める答になります。

　また、

　10³≡2 (mod 499) に注意すれば、10²⁷≡2⁹＝512≡13 (mod 499) 、

　よって、[10²⁷/499]＝(10²⁷－13)/499 になり、

　99……99999987－499･3＝99……99998490 、99……99998490－499･10＝99……99993500 、

　99……99993500－499･500＝99……99744000 と、下位から計算すると下３桁は 513 です。


[解答3]

　499は 10と互いに素な素数だから、1/499 の循環節の桁数は 498の約数(実際は498桁)になります。

　[10⁹⁹⁹⁵¹³/499] の下３桁は 1/499 の小数第999511位～小数第999513位の数で、

　999513＝498･2007＋27 だから、 1/499 の小数第25位～小数第27位の数と一致します。

　1/499＝2/(1000－2)＝2･10^-3/(1－2･10^-3) だから、

　これは、初項 2･10^-3，公比 2･10^-3 の無限等比級数の和になります。

　2･10^-3＋4･10^-6＋8･10^-9＋16･10^-12＋32･10^-15＋64･10^-18＋128･10^-21＋256･10^-24
　 ＋512･10^-27＋1024･10^-30＋……

　 ＝0．002004008016032064128256513026…… となって、

　求める答は 513 です。

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