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[答514] 中点の軌跡で囲まれる部分の面積

ヤドカリ

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[答514] 中点の軌跡で囲まれる部分の面積


 図のように、円外の点Oから円に2本の接線を引き、接点をA,Bとします。

 Oを通る直線がこの円と2点で交わるときの2つの交点の中点の軌跡と、OA,OBで囲まれる部分の面積は?

 ただし、もとの円の半径を 2,∠AOB=90゚ とします。


[解答1]

 円の中心をC,弦の中点でC以外のものをP とすれば、Cは軌跡に含まれ、

 CP⊥OP だから、Pは OCを直径とする円周上にあることになります。

 四角形ABCDは正方形なので、

 求める面積は ABを直径とする半円の面積と ABを斜辺とする直角二等辺三角形の面積の和となり、

 OA=2,AB=2√2 だから、π(√2)2/2+22/2=π+2 です。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

 円の中心を C,直線の円と交わっている弦の中点を P,CO と AB の交点を D,とします。

 O(0,0),A(2,0),B(0,2) とし,(解法1)と同様に点を取ると,C(2,2),D(1,1) で,

 m を正の実数,とすると, 円C:(x-2)2+(y-2)2=4,直線OP:y=mx

 このとき,円C と直線の二つの交点の x 座標 a,b は

 2次方程式,(m2+1)x2-4(m+1)x+4=0 の実数解なので,

 P(X,Y) とすると, X=(a+b)/2=2(m+1)/(m2+1),Y=mX,

 (m2+1)X=2(m+1) ,(mX)2+X2=2(mX+X) ,Y2+X2=2(Y+X) ,(X-1)2+(Y-1)2=2

 P の軌跡は D(1,1) を中心とする 半径2=2 の円の 円C の内部,円D の半分,で,

 求める面積=△OAB+円D/2=(OA・OB)/2+(半径2・π)/2=(2・2)/2+(2・π)/2=2+π になります。


[参考]

 弦の中点を一般化して、弦を(0に近い方から) k:(1-k) として考えてみます。

 円の中心をC,∠AOB=2α とし、Oを極,半直線OCを始線とする極座標で軌跡を求めます。

 円の中心を C(2c,0) とすれば、円の半径は 2c・sinα だから、余弦定理より、

 この円の極方程式は、r2+(2c)2-2(2c)r・cosθ=(2c・sinα)2

 r2-4cr・cosθ+4c2cos2α=0 となって、

 r=2c・cosθ±2c√(cos2θ-cos2α) になります。

 簡単のため、√(cos2θ-cos2α)=f(θ) とすれば、 r=2c{cosθ±f(θ)} です。

 弦の端点は (2c(cosθ-f(θ)),θ),(2c(cosθ+f(θ)),θ) だから、

 k:(1-k) に内分する点を P(r,θ) とすれば、 r=2c{cosθ+(2k-1)f(θ)} になります。

 求める面積を S とすれば、S=(1/2)∫-αα r2dθ=∫0α r2dθ で、

 r2=4c2{cos2θ+2(2k-1)cosθf(θ)+(2k-1)2(cos2θ-cos2α)} 、

 4∫0α cos2θdθ=∫0α (2+2cos2θ)dθ=[2θ+sin2θ]0α=(2α+sin2α) 、

 f(θ)=√(cos2θ-cos2α)=√(sin2α-sin2θ) だから、

 sinθ=x とおけば、f(θ)=√(sin2α-x2) ,cosθdθ=dx となって、

 4∫0α cosθf(θ)dθ=4∫0sinα √(sin2α-x2)dx

 これは、半径が sinα である円の面積を表すから、4∫0α cosθf(θ)dθ=πsin2α 、

 4∫0α dθ=4α だから、 

 S=c2{2α+sin2α+2(2k-1)πsin2α+(2k-1)2(2α+sin2α-4αcos2α)}

  =c2{2α+sin2α+(2k-1)(1-cos2α)π+(2k-1)2(sin2α-2αcos2α)} です。

 本問の場合は k=1/2 ,c=√2 ,α=π/4 だから、面積は、2(π/2+1)=π+2 になります。

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Comments 18

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ニリンソウ  
No title

おはようございます!
ヤツデ・・・・スッキリした花。
葉の刻みを数えてみました 一つ、二つ、7枚もある
8枚もある、9枚もあったり平均でやっつなんですね

ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
↑そうなんですね、今度見つけた時、数えてみましょう(o^-^o)
ナイス!

tsuyoshik1942  
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最初、CP⊥OPを見逃し、余分な取組みをしました。
計算力を要する問題と早合点してしまいました、他のサイトだったら「CP⊥OP」に容易に気づけたような気がします。

樹☆  
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やつでって12月に花を咲かせるんですね。
とても寒いのに花粉を運んでくれてるのですね。
偉いなぁ~虫たち・・ナイスです。

uch*n*an  
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この問題は,ほとんど算数でも解ける問題でした。
私の解法は四つ。(解法1)は[解答1],(解法2)は[解答2]でした。
(解法3),(解法4)は,リコメに極座標とあったので考えてみた解法で,
[参考]ほど一般的ではないものの,同じような考え方の解法でした。

古い人  
No title

今日の花は八つ手ですね。

此花は寒く成らないと咲かないですね。
小さな時は天狗の団扇だと言って遊びました。
ナイス。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

ヤツデですね~~
私のところでは室内で育てます。北海道の南西部に行くと
気候がいいので外で育てているようですが・・・
花が咲くのですね。
山菜のウドの花に似ているわ~~
ナイス☆

こっこちゃん  
No title

こんにちは
ヤツデですね

大きな葉と 花はつり合いがとれますよね ナイス

ヤドカリ  
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ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
平均で8つですか。
端の方の刻みが小さくて、数えていいものかどうか? です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私の子供の頃、住んでいた家の庭にヤツデがあって数えたのですが、
すっかり忘れてしまいました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
私の意図は[参考]のように、比を決めて解くものでした。
中点にしたために簡単になってしまいました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
11月ごろから咲いています。
地味な花ですが、寒い時に咲いている貴重な花です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
私の意図は[参考]のように、解くものでしたが、
中点にしたために簡単になってしまいました。
特殊な場合でなくても解けるのが積分のいいところですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
寒くならないと咲かないですが、寒い花の少ない時期に咲いてくれる花です。
そんなに目立たないですが、馴染みもあって好きな花です。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
私にはこの樹を室内で育てるのが信じられないです。
貴女のコメントで北海道は広くて寒いことを改めて認識しました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
私が幼少の頃に住んでいた家の庭にヤツデがあって、馴染みある樹です。
大きな葉が魅力です。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
ヤツデの花が見事ですネ
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ヤツデの花は目立たないものの味わいのある花です。
見事に咲いていました。