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[答515] 式の値が一定

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答515] 式の値が一定


 条件文 「x+y+z=(ア) ,1/x+1/y+1/z=(イ) ならば x3+y3+z3=125」 が 真となるような、

 (ア),(イ) に適する実数は? ( x,y,z は複素数とします )


[解答]

 x+y+z=a ,1/x+1/y+1/z=b とすれば、yz+zx+xy=bxyz だから、

 xyz=k とおくと、yz+zx+xy=bk になり、

 x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(yz+zx+xy)=a2-2bk 、

 x3+y3+z3=(x+y+z)(x2+y2+z2-yz-zx-xy)+3xyz=a(a2-2bk-bk)+3k=a3+3k(1-ab) となって、

 この値が常に 125 になるには、a3=125 ,1-ab=0 だから、 a=5,b=1/5 になります。


☆ x+y+z=a ,yz+zx+xy=bk ,xyz=k より、x,y,z を解とする t の3次方程式は、

 t3-at2+bkt-k=0 すなわち t3=at2-bkt+k だから、これに t=x,y,z を代入して加えると、

 x3+y3+z3=a(x2+y2+z2)-bk(x+y+z)+3k=a(a2-2bk)-abk+3k=a3+3k(1-ab) としても構いません。


[参考]

 最初、x,y,z が 複素数であることの記述がありませんでした。

 「x,y,z が実数に限定されている場合は (ア)=(イ)=0 も答になる」という、

 たけちゃんさんのコメントがあり、私も確認しました。

 条件文なので、「ならば」の前の条件を満たす x,y,z が存在しなければ真になります。

 以下、x,y,z が実数の場合の考察をします。

 x+y+z=a ,1/x+1/y+1/z=b とすれば、 y+z=a-x ,1/y+1/z=b-1/x だから、

 (y+z)(1/y+1/z)=(a-x)(b-1/x) 、y/z+z/y=ab-a/x-bx-1 になります。

 z/y=k とすれば、1/k+k=ab-a/x-bx-1 になり、この関係を満たす実数 k,x が存在すれば、

 x+y+z=a より x+y+ky=a 、(k+1)y=a-x 、

 k=-1 のとき z=-y となるから 0でない実数 y,z が存在し、

 a=5 のときに b=1/5 ,x3+y3+z3=125 です。

 k≠-1 のとき k≠0 だから y=(a-x)/(k+1) ,z=ky より 0でない実数 y,z が存在します。

 1/k+k=ab-a/x-bx-1 について、k2-(ab-a/x-bx-1)k+1=0 だから、

 判別式 (ab-a/x-bx-1)2-4>0 のときに -1 以外の実数 k が存在します。

  ( 2種類の実数 k が存在しますので、k≠-1 である実数 k が存在します )

 a≠0 の場合 x→+0 、b≠0 の場合 x→∞ のとき |ab-a/x-bx-1|→∞ だから

 a=b=0 のときに限り、不等式 (ab-a/x-bx-1)2-4>0 を満たす 実数 x は存在しません。

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Comments 18

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古い人  
No title

今朝の赤いのは何ですか。

実ですか花ですか私にはわかりません。
勉強不足です泣き。

スモークマン  
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グーテンモルゲン ^^
恒等式を満たすものならいいはずと気づけましたが...^^☆
複素数には、実数も含むので...ア=0, イ=0 も条件式を満たすという意味では...両方が答ということになるのでしょうかしら...^^;...?

アキチャン  
No title

おはようございます。
観たことがあるような・・・f(^。^;私も泣いています(笑)
ナイス!

tsuyoshik1942  
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本質を理解できていないまま、答だけ当てた問題です。
解答時のリコメのなかに「複素数」やら[真」なる文字が飛び交っていましたが、よくわからず、避けていました。
本稿にて勉強させていただきます。

uch*n*an  
No title

これは,個人的には,問題文が持って回った記述になっており,題意が掴みにくい問題でした。
条件文「…」が 真となるような…,といわれれば,条件文の仮定が偽になる場合を考えたくなり,
そうなると,たけちゃんさん同様に x,y,z を実数に限定するのかな,と思いたくなります。
しかし,そうした制限はないので,私は少し混乱しましたが,複素数として解きました。
その解法は,☆を使った[解答]でした。
ただ,実数の場合も考えていて,[参考]と同じ結果を得ていました。
なお,[参考]の考え方はいろいろあるかも知れませんが,
f(t) = t^3 - at^2,g(t) = - bkt + k のグラフを考えれば,
直感的にはほとんど明らかでしょう。

こっこちゃん  
No title

こんにちは

勿論こっこちゃんは 解りません

可愛い蕾?ですよね ナイス

ニリンソウ  
No title

わー凄いね、マユミでしょう
うちはコマユミですから 実も小さいです

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
殻が3つに別れているようですが何の実でしたか?
マユミとはちょっと違う気もするし
此の実は確かに見た事があるのにな~

ナイス☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
マユミの実をアップで写しました。
たくさんの実がついているので目を引きました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
複素数の範囲では、条件文の仮定に合うものが必ずあるのですが、
実数の範囲では、ア=イ=0 の場合のみ、条件文の仮定に合うものがありません。
仮定を満たすものがなければ、条件文は真になりますので、
実数の範囲では、ア=イ=0 の場合も答になります。
複素数の範囲では、ア=イ=0 の場合も条件文の仮定に合うものがあり、
条件文は真になりません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
難しかったかも知れませんが、貴女の万華鏡ほどではないようです。
貴女のコメントで、リリィさんの『私は泣いています』思い出しました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
私は複素数の範囲でしか考えていませんでしたが、
実数の範囲に限れば、条件文の真偽が問題になってきます。
それが[参考]です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
私は実数の範囲での解答が想定外でしたので、迷わせてしまい、
申し訳ありません。
貴殿のコメントで書かれたような表現に変えようと思いましたが、
条件文の真偽についての考察も興味深いと考え、[参考]として記しました。
なお、たけちゃんさんも f(t)=t^3-at^2,g(t)=-bkt+k のグラフによる考察でしたが、
図(グラフ)を追加するのが面倒で、別の方法にしました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
マユミの実です。
赤くてたくさん密集していて目立ちました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
流石によくご存知ですね。
花の文化園に、実がたくさんついたマユミがあって、よく目立っていました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
マユミで正解です。
貴女が見られているマユミと雰囲気が違うののでしょうか?
写真で見ると雰囲気が変わるのかも知れません。

たけちゃん  
No title

x,y,zの考察範囲を明示しないと,題意としてはややあいまいと思い,
実数の場合の解答を併せて提示しましたが,
正直なところ,この問題の主題としては「式の値が一定」であり,
「前提を満たすx,y,zの存在」は,些事であるとも思えます.
(まあ,数学の一面として,「些事」が実は重要である場合もありますが)

にも関わらず,「実数の範囲の場合は」とのコメントに対応していただき,感謝しています.

なお,「自然数なら」とのリコメをいただきましたが,
上記のように,主題からはずれていくように感じたことと,
まだチャレンジ中の方の邪魔になってはいけないと思ったので,
コメントは控えていました.
125は自然数の3乗3つの和では表されないので,
3つの自然数の和,その逆数和で表現される(ア),(イ)に対して命題は偽,それ以外で真となりますね.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
x,y,zの考察範囲を実数にする場合のことに私が気づいていれば、
そのように出題していたかも知れません。
そうすると正解者は少なかったと思います。
出題者の想定外のことであり、出題者が慎重であるべきと改めて認識させられました。