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[答516] 糸が通過する部分の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答516] 糸が通過する部分の面積


 図のように、直角XOY があり、OX上の OAを直径とする 半径が 1 の半円があります。

 また、OPは長さが π の糸で、端点Oを固定していて、∠XOY 内の半円以外の部分を動かします。

 このとき、糸が通過する薄緑色の部分の面積は?


[解答1]

 左下図のように、半円の中心を C,糸の直線部分と半円の接点を T,∠ACT=φ とします。

 座標平面上で O(0,0),A(2,0) とすれば、

 TP=弧TA=φ,T(1+cosφ,sinφ),ベクトルTP=φ(sinφ,-cosφ) だから、

 P(1+cosφ+φsinφ,sinφ-φcosφ) になります。

 ( φ=0 のとき P(2,0) 、φ=π のとき P(0,π) です )

 従ってこの曲線は、 x=1+cosφ+φsinφ, y=sinφ-φcosφ (0≦φ≦π) と表され、

 dx/dφ=φcosφ, dy/dφ=φsinφ≧0 になります。

 半円の面積は π/2 だから、求める面積を S とすれば、

 S=∫0π xdy-π/2

  =∫0π (1+cosφ+φsinφ)φsinφdφ-π/2

  =(1/2)∫0π (2φsinφ+2φsinφcosφ+2φ2sin2φ)dφ-π/2

  =(1/2)∫0π (2φsinφ+φsin2φ+φ2-φ2cos2φ)dφ-π/2

 ここで、

 ∫0π φ2cos2φdφ=(1/2)[φ2sin2φ]0π -∫0π φsin2φdφ=-∫0π φsin2φdφ

 だから、

 S=(1/2)∫0π {φ(2sinφ+2sin2φ)+φ2}dφ-π/2

  =(1/2){ [φ(-2cosφ-cos2φ)]0π+∫0π (2cosφ+cos2φ)dφ+(1/3)[φ3]0π }-π/2

  =(1/2){ π+[2sinφ+(1/2)sin2φ]0π+(1/3)π3 }-π/2

  =(1/2){ π+(1/3)π3 }-π/2=π3/6 です。


[解答2] Nemoさんのコメントをもとに

 左下図のように、半円の中心を C,糸の直線部分と半円の接点を T,∠ACT=φ とします。

 Cを極とする極座標で A(2,0),P(r,θ) とします。

 △TCP において、CT=1,PC=r,TP=弧TA=φ,∠PTC=π/2,∠TCP=φ-θ だから、

 r2-1=φ2,r=1/cos(φ-θ),φ=tan(φ-θ) です。

 φ=tan(φ-θ) をθで微分すれば、dφ/dθ={1/cos2(φ-θ)}(dφ/dθ-1) 、

 dφ/dθ=r2(dφ/dθ-1) 、r2=(r2-1)(dφ/dθ) 、r2=φ2(dφ/dθ) になります。

 OY上にあるときの点Pを Qとすれば、半円の面積は π/2 ,△QOC=π/2 だから、

 求める面積を S とすれば、

 S=(1/2)∫0π-arctanπ r2dθ+π/2-π/2=(1/2)∫0π-arctanπ φ2(dφ/dθ)dθ

  =(1/2)∫0π φ2dφ=(1/6)[φ3]0π=π3/6 です。


[解答3]

 右下図のように、半円の代わりに、正(2n)角形の半分に変えます。

 糸が通過する部分の面積Sは、

 中心角が π/n で、半径が π/n,2π/n,……,(n-1)π/n の (n-1)個の扇形と、

 中心角が π/(2n) で、半径が π の扇形の面積の和を求めることになります。

 S=(1/2)(π/n)2(π/n)+(1/2)(2π/n)2(π/n)+……+(1/2){(n-1)π/n}2(π/n)+(1/2)・π2・π/(2n)

  ={π3/(2n3)}・{12+22+……+(n-1)2}+π3/(4n)

  ={π3/(2n3)}・n(n-1)(2n-1)/6+π3/(4n)=(1-1/n)(2-1/n)π3/12+π3/(4n)

 n → ∞ として、S → 2π3/12=π3/6 になります。 

 なお、極限を次のようにも求められます。

 S=(1/2)(π/n)2(π/n)+(1/2)(2π/n)2(π/n)+……+(1/2){(n-1)π/n}2(π/n)+(1/2)・π2・π/(2n)

  =(π3/2)(1/n)〔(1/n)2+(2/n)2+……+{(n-1)/n}2〕+π3/(4n)

 n → ∞ として、S → (π3/2)∫01 x2dx=π3/6 です。 


☆ この曲線は、円の伸開線(involute of circle) (反クロソイド(anti-clothoid)) の一部です。

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Comments 20

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樹☆  
No title

こんにちは。
えっ?マユミですか?
可愛い実です。。花から実シリーズ。。ナイスです。

たけちゃん  
No title

私は[解答1]でしたが,[解答3]が計算は楽な気はしていました.
と言っても,考えていたのは,多角形にするというよりは
接点が微小量動くときの糸の動く面積を考えるということでして,
(1/2)φ^2Δφを0≦φ≦πで加えることになると思ったわけです.
が,説明が厄介な気がしてやめてしまいました.

Pの軌跡ですが,円の伸開線ですね.

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
そうそう ^^...わたしも美しい曲線だからと探して見つけてはいたのですが...いかんせん...力不足で求め方わからず...^^;
>(1/2)φ^2Δφ...こんな△の和でいけそうとまでは考えたのですが...
ここからはどうなるんでしょうか?

インボリュート曲線は歯車に使われてる曲線なんですね☆
常に満遍なく接するから摩耗が少ないからなんでしょね ^^

ニリンソウ  
No title

また来ました~
この実 何の実 解りました
ナンキンハゼです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この実はナンキンハゼです。樹の実は難しいですね。
公園の樹で名前のプレートがかかっていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、2度のコメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、ナンキンハゼです。よく分かりますね。
貴女の植物に対する造詣の深さには驚きです。もちろん健脚にも。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
貴女も撮られたのですか?
樹の実は似たようなものもありますが、名前のプレートのおかげで分かりました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
公園でこの実が沢山あるのを見つけて撮りたくなりました。
すこし高い所にあったので、バックが空になりました。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
ナンキンハゼも実が弾けてきましたね
綿のような真っ白な実が綺麗ですね
是から野鳥たちが沢山遣ってくるでしょうネ ナイス☆

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
糸の長さを半径とする円の面積が π^3 だから、
貴殿には容易に推量されるものだと思っておりました。
「いろいろと楽しく」とのコメントが嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
作問のとき、正多角形で考えていて、それを円にしたくなり、
この問題が出来上がりました。
従って、私が最初に作った解答は[解答3]でした。
このような曲線を「伸開線」というのは知っていましたので検索すると、
円の伸開線(involute of circle) あるいは 反クロソイド(anti-clothoid)
というようです。本文に追記しました。

ヤドカリ  
No title

Nemoさん、早速の鍵コメントを有難う御座います。
鍵コメントに対して、他の方にも見えるリコメで申し訳ないのです。

やはり、このような面積を求めるのに、極座標は便利ですね。
わたしも薄々そんなことを感じていたのですが、
極座標の解答を用意していませんでしたので、
貴殿の解答をなるべく分かり易くという思いで書き変えて使わせて頂きました。
「日々の楽しみ」にして頂き、嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ナンキンハゼです。
このごろ公園の樹にも名前のプレートがよくかけられていて助かります。
撮りたくなった被写体を撮っていたら実の写真が沢山あり、続けて載せました。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
「伸開線」という言葉は知っていましたが、単に「円の伸開線」というのですね。
私は最初に正多角形で考えていたので、[解答3]が先でした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
「(1/2)φ^2Δφ...こんな△の和」のところは、
結局[解答2]の (1/2)∫r^2dθ の積分になります。
ところで、
歯車に使われていることは検索して私も知りました。
自然にありそうな曲線は何かに利用できますね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
貴女の近くでもナンキンハゼが実をつけているのでしょうか?
野鳥にとって、これもご馳走なのですね。

uch*n*an  
No title

皆さん,曲線の名前の件,歯車への応用の件,ありがとうございます。
勉強になりました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私も皆さんに勉強させて頂いております。
特に貴殿には沢山のコメントを頂き、感謝しています。

ひとりしずか  
No title

これ種なんですね
3つ子ちゃん、いっぱい~
これも当地では無いです・・
そちらでは花や木が沢山見れていいですね~
ナイス!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ナンキンハゼがなぜか目につきました。
赤い実が多い中、これは白いのに目立っていました。