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[答517] 図形に関する最小値

ヤドカリ

ヤドカリ



[答517] 図形に関する最小値


 BC=5,CA=6,AB=7 である△ABCを含む平面上の点A以外に点Pをとるとき、

 (BP2+CP2)/AP2 の最小値は? 


[解答1]

 まず、コーシー・シュワルツの不等式により、 (AB2+AC2)(CP2+BP2)≧(AB・CP+AC・BP)2

 等号は AB:AC=CP:BP のときに成り立ちます。

 また、トレミーの定理の拡張より、AC・BP+AB・CP≧BC・AP 、

 等号は 点Pが△ABCの外接円の弧BC上にあるときに成り立ちます。

 このとき、AP,BCの交点をQとすれば、

 △ABQ∽△CPQ より AB:BQ=CP:PQ 、AB=BQ・CP/PQ 、

 △ACQ∽△BPQ より AC:CQ=BP:PQ 、AC=CQ・BP/PQ 、

 よって、CQ=BQ すなわち QがBCの中点のとき、AB:AC=CP:BP が成り立ちます。

 (AB2+AC2)(CP2+BP2)≧(BC・AP)2 、 (CP2+BP2)/AP2≧BC2/(AB2+AC2) です。

 等号は点Pが△ABCの外接円の弧BC上にあり、APがBCの中点を通るときです。

 本問では BC2/(AB2+AC2)=52/(72+62)=5/17 で、これが最小値になります。


[解答2]

 BCの中点をMとし、複素平面上で、A(0),B(b),C(c),M(m),P(1/z) とします。

 また、V=(BP2+CP2)/AP2 とします。

 V=(|1/z-b|2+|1/z-c|2)・|z|2=|1-bz|2+|1-cz|2

 ここで、共役複素数を「 ’(ダッシュ)」で表すことにすれば、

 V=(1-bz)(1-b'z')+(1-cz)(1-c'z')=2-bz-cz-b'z'-c'z'+bb'zz'+cc'zz'

  =2-2(mz+m'z')+(bb'+cc')zz'=2-4・Re(mz)+(|b|2+|c|2)|z|2

 ここで、|z| を固定すれば、|mz|=|m||z| は一定だから、

 Re(mz) が最大になるのは mz が正の実数 、arg(m)=arg(1/z) 、Pが半直線AM上にあるときで、このとき、

 V=2-4・|m||z|+(|b|2+|c|2)|z|2=(|b|2+|c|2){|z|-2・|m|/(|b|2+|c|2)}2+2-4・|m|2/(|b|2+|c|2)

 よって、|z|=2・|m|/(|b|2+|c|2) を満たすように半直線AM上に点Pをとれば、

 V の最小値は 2-4・|m|2/(|b|2+|c|2)=2-4・AM2/(AB2+AC2) です。

 中線定理で、AB2+AC2=2(AM2+BM2)=2・AM2+BC2/2 が成り立つことにも注意し、

 2-4・AM2/(AB2+AC2)=2(AB2+AC2-2・AM2)/(AB2+AC2)=BC2/(AB2+AC2) です。

 本問では、 52/(62+72)=5/17 になります。

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Comments 20

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはようございます!
ポインセチアは赤が一番いいようです
クリスマスカラーですね。

ナイス

こっこちゃん  
No title

おはようございます

ポインセチア 寒い冬には ホットな心地にしてくれますよね
ナイス

樹☆  
No title

おはようございます。
うふっ。。クリスマス気分になります^^
今年はホワイトクリスマスかな。。ナイスです。

ひとりしずか  
No title

↑いつきさんがコメ30001件目

uch*n*an  
No title

これは,なかなか面白い問題でした。大学入試にもいいかも。
私の解法は三つ+α。「+α」は(解法2)の改良版です。
(解法1)は,[解答2]を,パップスの中線定理と余弦定理で実現したような解法です。
(解法2)は,[解答2]を,ベクトルで実現したような解法で,
その改良版は,さらにベクトルらしくした解法です。
(解法3)は,[解答1]と同じでした。
複素数もやってみようかなと思ったのですが,ベクトルでうまくいったので止めてしまいました。
まぁ,ある意味当たり前だと思いますが,似たようなものですね。

ひとりしずか  
No title

別名クリスマスフラワー
葉が金箔ほどこしてるみたいに光っていますね~

キリスト教では赤はキリストの血、緑は神との平和を~

花言葉、
「祝福する」「私の心は燃えている」「聖なる願い」「清純」

マダガスカルの国花

メキシコ原産。原産地では、高さ5メートルにもなる。

日本には明治時代に来た。和名はショウジョウボク(猩々木)。
大酒飲みの赤い顔が伝説上の動物である猩々に似ていることから名付けられたという。

一般に鉢植えの植物というイメージが強いが、
宮崎県宮崎市堀切峠の沿道には5万本以上植えられており、
12月の開花時期には日南海岸の展望と合わせて名所となっている
のだそうで、見てみたい気がしました

全草にフォルボールという有毒成分が含まれ、皮膚炎・水疱などを引き起こす。

この機会にと調べてみました
()

ナイス!

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」はカッコウ良さそうですね!自分には到底思いつきそうにありませんが!

「解答2」も理解できていない部分が多いのですが、自分の方法はこれに似ているような気がします。
BCをX軸に、BCの中点Mを(0,0)とした座標上で、BP^2+CP~2がある一定量Kの時のP点の軌跡を求めました。
(x-5/2)^2+y^2+(x+5/2)^2+y^2=k→x^2+y^2=(k-25/4)からPはMを中心とした円となる。
A点から最も遠いこの円周上の位置はAMの延長線と円周の交点である。
故に、答となるP点はAM上にあると考え、以下はAPを変数とし、与式の最小値を求めました。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これはさっぱり閃かず...またもや撃沈...^^;
コーシーシュワルツとトレミーの組み合わせって思考が高等すぎるぅ~☆...こういうのが解けるようになりたいな ^^ ~m(_ _)m~

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
近年、この花もいろんな品種が見られるとうになってきたように思います。
仰る通り、この時期が出番ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私もポインセチアは赤がしっくりきます。
クリスマスも近いので、ポインセチアの写真を使いました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
貴女にも沢山のコメントを頂き、このコメントが第30000コメです。
これからも宜しくお願いします。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
今年は日本海側ではホワイトクリスマスのようですね。
私の住んでいるところでは雪が積もることは年1回あるかないか。
残念ながら、ホワイトクリスマスの経験はありません。

ヤドカリ  
No title

ひろちしずかさん、2度のコメントとナイス!を有難う御座います。
また、ポインセチアについて調べていただき、勉強になりました。
私は、堀切峠には何回か行きましたが、この時期に行ったことがありません。
機会があれば行きたいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私はこの[解答1]を見つけて出題しました。
(BP^2+CP^2)/AP^2 の最小値が決まった点でとるのも興味深いです。
大学入試なら、どのくらい小問を設けるかが問題ですね。
なお、[解答2]はベクトルでもよかったのですが、
私は解答を作るとき何となく気分で複素平面を使いました。
もちろん、仰るように、似たようなものです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
BP^2+CP^2 と 最小値 で、コーシー・シュワルツの雰囲気があり、
コーシー・シュワルツの不等式を使いました。
2次関数の最大・最小は、係数が複雑になると式変形が面倒なので、
私は無意識に避けてしまいます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
コーシー・シュワルツとトレミーの組み合わせですが、
一見別々のものが結びついたときは嬉しいものです。
それも数学を好きになる要因かも知れません。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
ポインセチア クリスマスの代名詞みたいな花ですね
ポインセチアもいろんな色が出ていますが
私はやっぱり此の赤が好きです ナイス☆

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
クリスマスが近づき、ポインセチアの写真を使いました。
やはり見なれている赤がしっくりきますね。

たけちゃん  
No title

私の解法は,座標こそ入れていないものの,基本的にtsuyoshik1942さんと同じでした.
結果の式を見ていて後からトレミーの定理に気付きました.

結果を一般的に表す式もきれいだし,名作問題といってよいと思います.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
また、評価して頂き、嬉しいです。
図形の中には私が知らないだけで、
美しい未知の事実が沢山あるのでしょうね。
そのような事実に多く出会いたいです。