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[答519] 3個の三角形の面積の和

ヤドカリ

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[答519] 3個の三角形の面積の和


 1辺が 20 の 正六角形ABCDEF があり、その内部に PA=16,PF=12 である点Pがあります。

 このとき、3個の三角形の面積の和、△PAB+△PCD+△PEF=?


[解答1]

 図のように、AB,CD,EF を延長し、正三角形LMN を作れば、

 △PAB+△PCD+△PEF=(1/3)△PLM+(1/3)△PMN+(1/3)△PNL=(1/3)(△PLM+△PMN+△PNL)

  =(1/3)△LMN=(1/3)・{(√3)/4)}・602=300√3 になります。

☆ △LMN の内部のどこに点Pがあっても、△PAB+△PCD+△PEF=300√3 になります。


[解答2]

 [解答1]の解き方が思いつかない場合の解き方の一例です。

 座標平面とベクトルで解いてみます。なお、ベクトルを太字で示します。

 P(p,q),A(-10,10√3),B(-20,0),C(-10,-10√3),D(10,-10√3),E(20,0),F(10,10√3) とします。

 PA=(-10-p,10√3-q),PB=(-20-p,-q) より

  △PAB={(-10-p)(-q)-(10√3-q)(-20-p)}/2=100√3+5p√3-5q 、

 PC=(-10-p,-10√3-q),PD=(10-p,-10√3-q) より

  △PCD={(-10-p)(-10√3-q)-(-10√3-q)(10-p)}/2=100√3+10q 、

 PE=(20-p,-q),PF=(10-p,10√3-q) より

  △PEF={(20-p)(10√3-q)-(-q)(10-p)}/2=100√3-5p√3-5q 、

 よって、△PAB+△PCD+△PEF=300√3 になります。

 実際は p=14/5,q=10√3-48/5 だから、

 △PAB=64√3+48 ,△PCD=200√3-96 ,△PEF=36√3+48 です。

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Comments 20

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古い人  
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今年よく目に付くポインセチアですね。

色も福与かな色で綺麗ですね。
ナイス。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
そっか☆
これで...一般に、正偶角形の内部の点の場合にも同様に言え...
つまりは...
円周を偶数等分割したとき内部の点と結んでできる縞柄は等面積といえるわけですね♪

アキチャン  
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おはようございます。
変わったポインセチアですね!
初めて観ます(o^-^o)ナイス!

こっこちゃん  
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おはようございます

変わり ポインセチア

ふくよかで 福が舞い込んできそうで素敵ですよね ナイス

uch*n*an  
No title

これは,答えの求め方を「正六角形の何倍ですか?」とかすれば算数になる問題で,
楽しい問題でした。[解答1]の考え方は算数ですね。
点 P が正六角形内のどこにあっても正六角形の半分になるのは面白いです。
私の解法は二つ。
(解法1)は,表現が少し違いますが,実質[解答1]と同じ。
(解法2)は,折角 16,12 が与えられていて 3:4:5 の直角三角形になっているので,
それを使った解法でした。残念ながら三角関数を使いましたが。
[解答2]とは少し違うもっとベクトルっぽい解法でも確認していましたが,
(解法1),(解法2)の後では蛇足のように思ったので解答としてはまとめませんでした。

ニリンソウ  
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こんなポインセチアあるんですよね~
おどけたようでこれも愛嬌ですね

ナイス

ゆうこ つれづれ日記  
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えっ!これはポインセチアなんですか?
面白い形のがあるなんって…
初めて見ました~~
ナイス☆

tsuyoshik1942  
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「解答1」きれいな解法ですね!
最初 3:4:5の直角三角形を使い答を出しました。答が全体の半分だったので、もしかしたらと思い、任意の点に関し、座標を使い、対の3個の三角形の高さを求め、その高さが一定になることを確かめました。
実は、この時点で、任意の点で半分になることに気づいたのはすごいと、勝手に悦に入っておりました。どうやら、3:4:5はおとりで、それにピタッと嵌ってしまいました。

Nemo  
No title

解答1を拝見し、こんなに簡単に解けるのかと驚きました。

図形の問題は「気づき」が大切なんですけど、それがなかなかできないんですよね^^;

さっちゃんこ  
No title

見事な改良種のポインセチアですね
ふっくらとした感じが見ていて楽しくなりますね ナイス☆

ヤドカリ  
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古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ポインセチアも見慣れない品種が見られるようになりました。
丸みがあって、ふくよかな雰囲気が出ています。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有り難う御座います。
「そっか☆」と思って頂ければ幸いです。
こんな所に数学の面白さがあるのですね。

ヤドカリ  
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アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
初めてですか?
変わった品種が次々と創られているのですね。

ヤドカリ  
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こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
福が舞い込んでくればいいですね。
発足する新政権にも期待したいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
「正六角形の何倍ですか?」と算数にすれば、小学生に勘で答えられそうです。
そこが作問の難しいところです。
△PAFの辺を 5:7:8 にでもして、
△PBC+△PDE を求める問題でもよかったかも知れません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
丸みを帯びているぶん、愛嬌がありますね。
色だけでなく形の変化も考えられるようです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
初めてですか? 面白い形ですね。
ポインセチアのイメージが崩れそうです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
3:4:5 をおとりにしたわけではありませんが、
位置を確定しておかないと、目分量で全体の 1/2 と見当がついてしまいます。

ヤドカリ  
No title

Nemoさん、コメントを有難う御座います。
同じ問題でも、「気づき」のあるなしは、その時の調子にもよりますね。

ヤドカリ  
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さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
こんなにふっくらしたポインセチアもあるのですね。
去年はじめて見ましたが、見なれないからか、今年も新鮮に見えました。