[答520] 表に書かれた数の和

[答520] 表に書かれた数の和


　表のように ８×８ の マス目に 1 ～ 64 の自然数が書かれています。

　この表に書かれたすべての数の和は 64(64＋1)/2＝2080 ですが、

　この表のどの行，どの列においても８個のうち３個が負の数になるように、

　全部で 24個の数の前に －(マイナス) をつけると、この表に書かれたすべての数の和は？


[解答]

　左表の数を、右上表の青の数と右下表の赤の数の和で表せます。

　右上表の青の数の符号をつけない和を S とすれば、どの行にも正の数が５個，負の数が３個だから、

　正の数の和は (5/8)S ，負の数の和は －(3/8)S で、符号をつけた総和は (1/4)S です。

　右下表の赤の数の符号をつけない和を T とすれば、どの列にも正の数が５個，負の数が３個だから、

　正の数の和は (5/8)T ，負の数の和は －(3/8)T で、符号をつけた総和は (1/4)T です。

　従って、求める和は (1/4)S＋(1/4)T＝(1/4)(S＋T)＝(1/4)･2080＝520 です。


[参考]

　[解答]から分かるように、数が長方形状に並び、どの行，どの列も等差数列になっていて、

　どの行，どの列に於いても一定の割合で － をつけるとき、次の式になります。

　 　符号をつけた総和＝(符号をつけない総和){1－2(負の数の割合)}

　符号のつけない総和を求めるとき、(左上の数＋右下の数)/2 が全体の平均であることを利用します。

　 　符号をつけた総和＝(左上の数＋右下の数)(個数)(1/2－負の数の割合)

　本問の場合、式だけを書けば、(1＋64)･64･(1/2－3/8) です。

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