[答520] 表に書かれた数の和
[答520] 表に書かれた数の和
表のように 8×8 の マス目に 1 ~ 64 の自然数が書かれています。
この表に書かれたすべての数の和は 64(64+1)/2=2080 ですが、
この表のどの行,どの列においても8個のうち3個が負の数になるように、
全部で 24個の数の前に -(マイナス) をつけると、この表に書かれたすべての数の和は?
[解答]
左表の数を、右上表の青の数と右下表の赤の数の和で表せます。
右上表の青の数の符号をつけない和を S とすれば、どの行にも正の数が5個,負の数が3個だから、
正の数の和は (5/8)S ,負の数の和は -(3/8)S で、符号をつけた総和は (1/4)S です。
右下表の赤の数の符号をつけない和を T とすれば、どの列にも正の数が5個,負の数が3個だから、
正の数の和は (5/8)T ,負の数の和は -(3/8)T で、符号をつけた総和は (1/4)T です。
従って、求める和は (1/4)S+(1/4)T=(1/4)(S+T)=(1/4)・2080=520 です。
[参考]
[解答]から分かるように、数が長方形状に並び、どの行,どの列も等差数列になっていて、
どの行,どの列に於いても一定の割合で - をつけるとき、次の式になります。
符号をつけた総和=(符号をつけない総和){1-2(負の数の割合)}
符号のつけない総和を求めるとき、(左上の数+右下の数)/2 が全体の平均であることを利用します。
符号をつけた総和=(左上の数+右下の数)(個数)(1/2-負の数の割合)
本問の場合、式だけを書けば、(1+64)・64・(1/2-3/8) です。
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