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[答520] 表に書かれた数の和

ヤドカリ

ヤドカリ



[答520] 表に書かれた数の和


 表のように 8×8 の マス目に 1 ~ 64 の自然数が書かれています。

 この表に書かれたすべての数の和は 64(64+1)/2=2080 ですが、

 この表のどの行,どの列においても8個のうち3個が負の数になるように、

 全部で 24個の数の前に -(マイナス) をつけると、この表に書かれたすべての数の和は?


[解答]

 左表の数を、右上表の青の数と右下表の赤の数の和で表せます。

 右上表の青の数の符号をつけない和を S とすれば、どの行にも正の数が5個,負の数が3個だから、

 正の数の和は (5/8)S ,負の数の和は -(3/8)S で、符号をつけた総和は (1/4)S です。

 右下表の赤の数の符号をつけない和を T とすれば、どの列にも正の数が5個,負の数が3個だから、

 正の数の和は (5/8)T ,負の数の和は -(3/8)T で、符号をつけた総和は (1/4)T です。

 従って、求める和は (1/4)S+(1/4)T=(1/4)(S+T)=(1/4)・2080=520 です。


[参考]

 [解答]から分かるように、数が長方形状に並び、どの行,どの列も等差数列になっていて、

 どの行,どの列に於いても一定の割合で - をつけるとき、次の式になります。

   符号をつけた総和=(符号をつけない総和){1-2(負の数の割合)}

 符号のつけない総和を求めるとき、(左上の数+右下の数)/2 が全体の平均であることを利用します。

   符号をつけた総和=(左上の数+右下の数)(個数)(1/2-負の数の割合)

 本問の場合、式だけを書けば、(1+64)・64・(1/2-3/8) です。

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Comments 18

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古い人  
No title

うわーーこの様な色もあるんですね。

此の色は私も始めて見る色ですね。
変わった色が次々に出来てきますね。
ナイス。

tsuyoshik1942  
No title

解答と同じ思考だったのですが、上手くそれを表現できませんでした。二つの図を使うことで説明がすっきりしていますね!
自分は、全ての数値から1を引いた64個の数字の並びを8進表示で表し、以下は解答と同じように、一桁目と二桁目を分けて考え、マイナス記号をつけた数字の合計が全体の3/8になること確かめました。
00 01 02 03 04 05 06 07
10 11 12 13 14 15 16 17
..
..
70 71 72 73 74 75 76 77

アキチャン  
No title

おはようございます。
ピンク色は好きです♪いろいろな色が出来ているのですね(o^-^o)
ナイス!

ニリンソウ  
No title

いっぱいのポインセチア見たけど
この色のこの形は見なかった。
可愛いね~~~~ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
なるほどなぁ☆
わたしゃ...縦横3カ所を選ぶには...対角線に平行な斜め3筋を選ぶしかないわいなぁってないい加減なことで...^^;
いずれも対角線の和としては等しい(平行移動に過ぎないので)...
(1+64)*4*3 の2倍を全体の和から引きました ^^
2080-780*2=520...

uch*n*an  
No title

これは,最初は面倒な問題かな,と思ったのですが,
ちょっと考えたら,スルスルっと解けてしまいました (^^;
数列というか規則性を見つける問題ですね。
私の解法は,具体的な数を用いましたが,[解答]と同じ考え方でした。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
こんな色のポインセチアもありました。
楽しくなると同時にポインセチアに対するイメージが変わります。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
私は図が使えますので説明が容易です。
ブログ開設者の特権だと思ってご容赦くださいね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ピンクがお好きなのですね。名前アイコンから想像はできていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
貴女も沢山の種類のポインセチアをブログに載せておられました。
本当に色々な品種がありますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
どの行・どの列からも3ヶ所ずつを選ぶ方法は沢山ありそうですが、
どのように選んでも和が等しくなるのが面白いです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
一見、3ヶ所ずつを選ぶ方法が沢山あって面倒な感じがしますね。
ただ、その和が決まるので出題できたことが分かると難しくはないです。
できれば、何種類かの答が出るような問題にしたかったのですが、
この手の問題では作問ができるかどうかも怪しいです。

さっちゃんこ  
No title

まぁ~ 是もポインセチアですか?
もうポインセチアの世界をはるかに脱していますね
見た事もない大きな花の様です
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ポインセチアにいろんな品種があることは知っていても、
実際に見ると驚きます。

たけちゃん  
No title

私は解答と同じ解法でしたが,tsuyoshik1942さんのやり方が新鮮に映りました.
同じことではありますが,ここで8進法を使うのは「なるほど!」です.

樹☆  
No title

うわぁ~~これも?
わたしは普通のポインセチアしか見たことはありません。
目が醒めるような色ですごくきれいです。

こういうマスを見ると娘が小学生のときに習ったマス計算を
思い出します。。よく時間を測ったものでした。ナイス

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
いろんな発想で同じ結果を得られるのが数学の面白い所ですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
百マス計算ですね。
そういえば、私の子供もよくやっておりました。