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[答521] 左端に石が止まる確率

ヤドカリ

ヤドカリ



[答521] 左端に石が止まる確率


 図のように1列に並んだ 11個のマス目があり、中央の右隣のマス目に石を置き、

 石が中央のマス目より右にある場合は左に、石が中央のマス目より左にある場合は右に、

 サイコロを1個投げて出た目の数だけ移動させます。

 これを中央のマス目か両端のマス目に止まるまで続けるとき、左端のマス目で止まる確率は?


[解答1]

 石は次に移動できる(白の)マス目にあるものとします。

 n回の移動で、中央右隣から左端に達する確率を pn ,中央左隣から左端に達する確率を qn とし、

 中央両隣以外のどこに石があっても、1回で、両端に確率 0 で、

 中央に確率 1/6 で、中央の両隣のどちらにも確率 1/6 で、中央両端以外に確率 1/2 移動しますので、

 左端に到達する確率は石の位置によらず等しくなり、左端に達する確率を rn とします。

 すると、p1=1/6 ,q1=0 ,r1=0 ,pn+1=qn/6+rn/2 ,qn+1=pn/6+rn/2 ,rn+1=pn/6+qn/6+rn/2 になります。

 ここで、Pn=6npn ,Qn=6nqn ,Rn=6nrn とおけば、

 P1=1 ,Q1=0 ,R1=0 ,Pn+1=Qn+3Rn ,Qn+1=Pn+3Rn ,Rn+1=Pn+Qn+3Rn です。

 Pn+1-Qn+1=-(Pn-Qn) より、Pn-Qn=(P1-Q1)(-1)n-1=(-1)n-1 です。

 Pn+1+Qn+1+(x-1)Rn+1=x(Pn+Qn)+(3x+3)Rn

 Pn+1+Qn+1+(x-1)Rn+1=x{Pn+Qn+(x-1)Rn} とすれば、

 x(x-1)=3x+3 、x2-4x-3=0 となり、

 f(x)=x2-4x-3 とおけば、f(-1)>0,f(0)<0,f(4)<0,f(5)>0 だから、

 -1<a<0,4<b<5 を満たす f(x)=0 の解 a,b が存在します。

 Pn+1+Qn+1+(a-1)Rn+1=a{Pn+Qn+(a-1)Rn} より、

 Pn+Qn+(a-1)Rn={P1+Q1+(a-1)R1}an-1

 Pn+Qn+(a-1)Rn=an-1 、同様に、Pn+Qn+(b-1)Rn=bn-1 だから、

 (a-b)Rn=an-1-bn-1 、(a-b)(Pn+Qn)+(a-1)(a-b)Rn=an-1(a-b) 、

 (a-b)(Pn+Qn)=an-1(a-b)-(a-1)(a-b)Rn=an-1(a-b)-(a-1)(an-1-bn-1) 、

 (a-b)(Pn+Qn)=(1-b)an-1b+(a-1)bn-1

 また、(a-b)(Pn-Qn)=(a-b)(-1)n-1 ですので、

 2(a-b)Pn=(1-b)an-1+(a-1)bn-1+(a-b)(-1)n-1

 6n で割って、2(a-b)pn={(1-b)/6}(a/6)n-1+{(a-1)/6}(b/6)n-1+{(a-b)/6}(-1/6)n-1

 p1+p2+p3+……=p とすれば、|a/6|<1,|b/6|<1,|-1/6|<1 より無限和は収束して、

 2(a-b)p={(1-b)/6}/{1-(a/6)}+{(a-1)/6}/{1-(b/6)}+{(a-b)/6}/(1+1/6)

  =(1-b)/(6-a)+(a-1)/(6-b)+(a-b)/7=(a-b)(7-a-b)/{(6-a)(6-b)}+(a-b)/7 、

 p=(7-a-b)/{2(6-a)(6-b)}+1/14 です。

 ここで、a,b は x2-4x-3=0 の解だから、

 a+b=4 ,(x-a)(x-b)=x2-4x-3 となって、(6-a)(6-b)=36-24-3=9 です。

 よって、p=(7-4)/(2・9)+1/14=5/21 です。


☆ 収束することを前提にすれば、

 p=1/6+q/6+r/2 , q=p/6+r/2 , r=p/6+q/6+r/2 を解いて,p=5/21, q=2/21, r=1/9 です。

 ( たけちゃんさんがこの解き方をされていました )


[解答2]

 白のマス目にある石について、中央の隣のマス目以外にどこに石があっても、

 サイコロを1回投げて移動させるとき、左端右端には移動せず、中央に移動する確率が 1/6、

 中央の隣に移動する確率はどちらも 1/6、隣以外の白マスに移動する確率は 3/6 だから、

 最終的に左端で終わる確率も右端で終わる確率も等しくなります。

 そこで、白のマス目にある石が最終的に中央のマス目で止まって終わる確率を求めます。

 中央の隣のマス目の石が中央で終わる確率を a,その他のマス目の石が中央で終わる確率を b とすれば、

 a=(1+a+3b)/6 ,b=(1+2a+3b)/6 、これを解いて a=2/3,b=7/9 になります。

 従って、中央の隣以外のマス目の石が左端終わる確率も右端で終わる確率も (1-b)/2=1/9 です。

 中央の右隣にある石が最終的に左端で終わる確率を p とすれば、

 中央の右隣にある石が最終的に右端で終わる確率は 1-a-p=1/3-p で、  

 これは、中央の左隣にある石が最終的に左端で終わる確率でもあるから、

 p={1+(1/3-p)+3・1/9}/6 、これを解いて p=5/21 です。  

.

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Comments 20

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uch*n*an  
No title

まず,
p(n+1) = 1/6 * q4(n)
q4(n)
= 1/6 * q1(n-1) + 1/6 * q2(n-1) + 1/6 * q3(n-1)
+ 1/6 * p4(n-1) + 1/6 * p3(n-1) + 1/6 * p2(n-1) + 1/6 * p1(n-1)
= 1/6 * q1(n-1) + 1/6 * q2(n-1) + 1/6 * q3(n-1) + 1/6 * q4(n-1)
+ 1/6 * p4(n-1) + 1/6 * p3(n-1) + 1/6 * p2(n-1) + 1/6 * p1(n-1)
- 1/6 * q4(n-1)
= r(n) - 1/6 * q4(n-1)

uch*n*an  
No title

q(n+1) = 1/6 * p4(n)
p4(n)
= 1/6 * p1(n-1) + 1/6 * p2(n-1) + 1/6 * p3(n-1)
+ 1/6 * q4(n-1) + 1/6 * q3(n-1) + 1/6 * q2(n-1) + 1/6 * q1(n-1)
= 1/6 * p1(n-1) + 1/6 * p2(n-1) + 1/6 * p3(n-1) + 1/6 * p4(n-1)
+ 1/6 * q4(n-1) + 1/6 * q3(n-1) + 1/6 * q2(n-1) + 1/6 * q1(n-1)
- 1/6 * p4(n-1)
= r(n) - 1/6 * p4(n-1)

uch*n*an  
No title

q4(n) - p4(n) = 1/6 * p4(n-1) - 1/6 * q4(n-1)
p(n+1) - q(n+1) = 1/6 * q(n) - 1/6 * p(n)
(P(n+1) - p(1)) - (Q(n+1) - q(1)) = - 1/6 * (P(n) - Q(n))
P(n+1) - Q(n+1) = - 1/6 * (P(n) - Q(n)) + 1/6
P(n+1) - Q(n+1) - 1/7 = - 1/6 * (P(n) - Q(n) - 1/7)
= … = (-1/6)^n * (P(1) - Q(1) - 1/7) = (-1/6)^n * (1/6 - 0 - 1/7) = - (-1/6)^(n+1)/7
P(n) - Q(n) = 1/7 - (-1/6)^n/7

uch*n*an  
No title

一方で,
q4(n) + 1/6 * q4(n-1) = r(n),p4(n) + 1/6 * p4(n-1) = r(n)
p(n+1) + 1/6 * p(n) = 1/6 * r(n),q(n+1) + 1/6 * q(n) = 1/6 * r(n)
これらより,
(P(n+1) - p(1)) + 1/6 * P(n) = 1/6 * R(n),(Q(n+1) - q(1)) + 1/6 * Q(n) = 1/6 * R(n)
6 * P(n+1) + P(n) = R(n) + 1,6 * Q(n+1) + Q(n) = R(n)
6 * (P(n+1) + Q(n+1)) + (P(n) + Q(n)) = 2 * R(n) + 1

uch*n*an  
No title

さらに,
R(n+1) - R(n) = r(n+1)
= 1/6 * q1(n) + 1/6 * q2(n) + 1/6 * q3(n) + 1/6 * q4(n)
+ 1/6 * p4(n) + 1/6 * p3(n) + 1/6 * p2(n) + 1/6 * p1(n)
= 1/6 * (1 - P(n) - Q(n) - R(n))
P(n) + Q(n) = 1 + 5 * R(n) - 6 * R(n+1)
なので,

uch*n*an  
No title

2 * (P(n) + Q(n)) = 2 + 5 * 2 * R(n) - 6 * 2 * R(n+1)
2 * (P(n) + Q(n))
= 2 + 5 * (6 * (P(n+1) + Q(n+1)) + (P(n) + Q(n)) - 1)
- 6 * (6 * (P(n+2) + Q(n+2)) + (P(n+1) + Q(n+1)) - 1)
12(P(n+2) + Q(n+2)) - 8(P(n+1) + Q(n+1)) - (P(n) + Q(n)) = 1
12(P(n+2) + Q(n+2) - 1/3) - 8(P(n+1) + Q(n+1) - 1/3) - (P(n) + Q(n) - 1/3) = 0

uch*n*an  
No title

ここで,P(n) + Q(n) - 1/3 は t の2次方程式
12t^2 - 8t - 1 = 0
の二つの異なる解 -1 < α < 0 < β < 1 を用い,a,b を有限値定数として,
P(n) + Q(n) - 1/3 = aα^n + bβ^n,P(n) + Q(n) = 1/3 + aα^n + bβ^n
と書けます。a,b は P(1) + Q(1),P(2) + Q(2) から決まります。
そこで,
P(n) = ((1/3 + aα^n + bβ^n) + (1/7 - (-1/6)^n/7))/2
-1 < α < 0 < β < 1,a,b は有限値定数,に注意して,求める値は,
P = lim[n->∞]{P(n)} = ((1/3 + 0 + 0) + (1/7 + 0))/2 = 5/21
になります。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは歯が立たなかったです...^^;
熟読~^^;;
簡単な問いなのに...厄介な思考が必要なものなんですねぇ...
最初は...格子路でできるはずだと取り組んだのですが...アウト...^^;

今年もいっぱい楽しませていただきましてありがとうございました。
来年もよろしくお願いいたします。
チャレンジだけはみなさんに負けないように頑張りま~す ☆^^☆

たけちゃん  
No title

収束性をもう少し厳密に論じるべきだったかと少し反省しています.
漸化式をきちんと作って論じている解答は勉強になりました.

なお,「n回以内に左端に到達する確率」をs[n]とするとき,
s[n] は,単調に増加する有界(0以上1以下)な数列だから当然収束します.
また,本問では使っていないつもりですが,
各回の試行で,白いマス目にとどまる確率は高々5/6なので,
n回の試行の後で,まだ白いマス目にある確率は(5/6)^n以下であり,0に収束します.
よって,最終的に左端に到達する確率,右端に到達する確率,中央に到達する確率
(「の極限」というべき?)は,その和が1になるはずです.

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと詳しい解答を有難う御座います。
漸化式による解法は[解答1]で精一杯で、貴殿の解答まではまとめられませんでした。
収束を前提とせずに解くと、この問題はけっこう面倒ですね。

今年1年も、いつも詳しい複数の解答を頂き有難う御座いました。
出題者として必ずしも納得のできる問題ばかりではありませんでしたが、
何とか問題番号に絡めた出題を続けることができました。
解答をくださる方々がいないと出題は続きません。
有難う御座いました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
貴殿にいつも見守られているようなブログです。
ブログ開設時からずっと解答をいただき、感謝しています。
問題のネタが思いつかなくならないように願いながら、
来年も続けるつもりですので、今後もよろしくお願いします。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
収束を前提とした解答は、時間がないときや検算のときの解答に適していますね。
私はどちらでも良いと思っています。必ずしも厳密性を求めているわけでもありません。
このブログの解答も厳密に書くこともあれば、そうでないこともあります。
このブログの目的は、数学の好きな方が見てくれたときに楽しんで頂くことです。

ところで、いつも1番に的確な解答を下さり、私はいつも驚いています。

Nemo  
No title

趣向の凝らされた問題を解くのを、毎週楽しみにしてました(^-^)
今年はこのブログに出会えたことが、大きな収穫になりました。
長らく数学の問題を解くことから遠ざかっていたので、回答がつたない部分が多々あったと思います。

また来年もよろしくお願い致します。
良いお年を!

樹☆  
No title

こんばんは。
今年一年ありがとうございました。
たくさんのお花で癒されました。
来年もすてきなお花期待しております。。
ナイスです。

ヤドカリ  
No title

Nemoさん、コメントを有難う御座います。
このブログに出会われことを喜んで頂き、嬉しいです。
ブログを開設して3年余り、いつまで出題を続けられるか分かりませんが、
今後もよろしくお願いします。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
数学の問題だけでは殺風景だからと思って、花の写真を載せていますが、
見て頂く前に私自身が癒されています。
花の写真は、撮りたいと思ってカメラを向けるだけですが、
季節を感じられるようになりました。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
今年は色んな事があり大変でしたが何時も暖かく励ましてもらいありがとうございました
優しい言葉に元気を一杯もらいました
心から感謝申し上げます
来年も宜しくお願いいたします

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難う御座います。
貴女は暑い時期にブログから離れておられました。
かなりのご苦労をされていたものと思います。
来年はいい年であります様に。そしてこちらこそ宜しくお願いします。

ニリンソウ  
No title

あと1時間足らずで新年を迎えます
一年間優しいお花をありがとう、新しい年もよろしく
お願いします

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
今年もお付き合いいただき、有難う御座いました。
来年もまた素晴らしい景色を見せて下さいね。