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[答49] 立方体にかけた輪ゴムの交点の数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答49] 立方体にかけた輪ゴムの交点の数


 立方体の箱に100本の輪ゴムをかける時

 交点は最も多くて何個出来るでしょうか?

 ただし輪ゴムは立方体の辺と直角に交わり

 向きが同じ輪ゴムは重ならないとします

 ……「たけしのコマ大数学科」(2009/11/13放映)より



[解答]

 3方向にかける輪ゴムの数を a,b,c、交点の数をNとすると、

 a+b+c=100, N=2(bc+ca+ab)。

 3N=6(bc+ca+ab)=2(a+b+c)2-{(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2}

   =20000-{(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2}

 これは、a,b,c が 33,33,34 のときに最大になり、3N=20000-(0+1+1)=19998。

 N=6666。

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Comments 6

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再出発  
No title

なるほど、、、すっきり。
勉強になります。
というか、勉強不足を思い知らされます。
それと、実はやどかりさんの挿絵がとっても味があって好きです。
最近では、座布団のように見える大小4っつの正方形や赤球青球の袋などなど。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、コメントを有難う御座います。
挿絵というより、問題に使う図も自分のイメージ通りの自作です。
エクセルである程度の形を作っておいてペイントで整えています。
ただ、この問題に関しては、色も形もTVで見たものを忠実に再現しました。
問題文も1行の長さも赤字の部分もそのまま再現しました。
ただ、解答はTVのとは違います。

uch*n*an  
No title

TVの解答は,どうだったのですか? 参考までに教えていただけると幸いです。

ヤドカリ  
No title

TVの解答では、
3方向にかける輪ゴムの本数の差をなるべく少なくすることが前提になっていました。
1本ずつでは 1^2*6=6, 2本ずつでは 2^2*6=24, 3本ずつでは 3^2*6=54,……,
33本ずつでは 33^2*6=6534、100本目をかけるとき 33*4=132個増えて、6666個。
であったと記憶しています。

uch*n*an  
No title

TVの解答の説明,ありがとうございます。
ふむ,これだと,私の最初のいい加減な解答と同じですが,
途中までは最大を目指さずとも,最後にドンと増えて最大になる,というような場合が,
本当にないのか,示されていない,というわけですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私が言いたかったことは、その通りです。
きちんと示すとき、やはり、
-{(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2}
の部分が簡明で効果的です。