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[答523] 一定の形で表される整式

ヤドカリ

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[答523] 一定の形で表される整式


 x の2次式 P(x)を使って、P(x2)/P(x) と表される整式 Q(x) は何個かあります。

 そのような Q(x) すべての総和は?   (答はもちろん整式です)


[解答1]

 P(x)=a(x2+px+q) (a≠0) とおけば、P(x2)=a(x4+px2+q) だから、

 実際に割り算をすると、商は x2-px+p2+p-q となり、

 余りは -p(p2+p-2q)x-q(p2+p-q-1) で、これが 0 になるのは、

 p=q=0 ,p=p2+p-q-1=0 ,q=p2+p-2q=0 ,p2+p-2q=p2+p-q-1=0 のときです。

 p=p2+p-q-1=0 のとき (p,q)=(0,-1) 、

 q=p2+p-2q=0 のとき (p,q)=(0,0),(-1,0) 、

 p2+p-2q=p2+p-q-1=0 のとき (p,q)=(1,1),(-2,1) 、

 Q(x)=x2-px+p2+p-q ですので、

 Q(x)=x2 ,x2+1 ,x2+x ,x2-x+1 ,x2+2x+1 で、 総和は 5x2+2x+3 です。


[解答2]

 P(x)=ax2+bx+c (a≠0) とおけば、P(x2)=ax4+bx2+c だから、

 Q(x)=x2+px+q とおくことができます。

 P(x)Q(x)=P(x2) より、 (ax2+bx+c)(x2+px+q)=ax4+bx2+c 、

 ax4+(ap+b)x3+(aq+bp+c)x2+(bq+cp)x+cq=ax4+bx2+c 、

 よって、ap+b=0,aq+bp+c=b,bq+cp=0,cq=c になります。

 cq=c より、c=0 または q=1 です。

 c=0 のとき、ap+b=0,aq+bp=b,bq=0 となって、b=0 または q=0 で、

  b=0 のとき ap=0,aq=0 となって、p=q=0 、P(x)=ax2 ,Q(x)=x2

  q=0 のとき ap+b=0,bp=b となって、b=0 または p=1 で、b=0 のときは検討済み、

   p=1 のとき P(x)=a(x2-x) ,Q(x)=x2+x です。

 q=1 のとき、ap+b=0,a+bp+c=b,b+cp=0 となって、cp=ap より p=0 または c=a で、

  p=0 のとき b=0,a+c=b となって、P(x)=a(x2-1) ,Q(x)=x2+1 、です。

  c=a のとき ap+b=0,2a+bp=b となって、2a-ap2=-ap 、p=-1,2 、

   p=-1 のとき P(x)=a(x2+x+1) ,Q(x)=x2-x+1

   p=2 のとき P(x)=a(x2-2x+1) ,Q(x)=x2+2x+1 です。

 結局、Q(x)=x2 ,x2+x ,x2+1 ,x2-x+1 ,x2+2x+1 で、 総和は 5x2+2x+3 です。


[解答3]

 P(x)=a(x-α)2 (a≠0) と表されるとき、P(x2)=a(x2-α)2 だから、

 Q(x)=P(x2)/P(x)=(x2-α)2/(x-α)2={(x2-α)/(x-α)}2

 f(x)=x2-α とおけば、これが x-α で割り切れるから、f(α)=α2-α=0 、α=0,1 となって、

 Q(x)=x2,(x+1)2 です。

 P(x)=a(x-α)(x-β) (a≠0,α≠β) と表されるとき、P(x2)=a(x2-α)(x2-β) だから、

 Q(x)=P(x2)/P(x)=(x2-α)(x2-β)/{(x-α)(x-β)}

 f(x)=(x2-α)(x2-β) とおけば、これが (x-α)(x-β) で割り切れるから、

 f(α)=0,f(β)=0 、 (α2-α)(α2-β)=0,(β2-α)(β2-β)=0 、

 α2-α=β2-β=0 のとき、α=1,β=0 または α=0,β=1 、Q(x)=x(x+1) です。

 α2-α=β2-α=0 のとき、α=1,β=-1 、Q(x)=x2+1 です。

 ( α2-β=β2-β=0 のときも、α=-1,β=1 、Q(x)=x2+1 )

 α2-β=β2-α=0 のとき、α=ω,β=ω2 ( ω,ω2 は 1 の虚数立方根 ) 、Q(x)=x2-x+1 です。

 結局、Q(x)=x2 ,(x+1)2 ,x2+1 ,x(x+1) ,x2-x+1 で、 総和は 5x2+2x+3 です。


[解答4]

 P(x)=0 の解の1つをαとすれば、P(x2)=P(x)Q(x) より、P(α2)=P(α)Q(α)=0 、

 α2 も P(x)=0 の解になり、α4 も P(x)=0 の解になります。

 P(x)=0 の解は高々2個なので、α,α2,α4 に等しいものがあります。

 α=α2 のとき、α=0,1 、

 α2=α4 のとき、α=0,1,-1 、

 α=α4 のとき、α=0,1,ω,ω2 (ωは1の虚数立方根) で、

 {x|P(x)=0}={0},{1},{0,1},{1,-1},{ω,ω2} です。

 a を 0 でない定数として、

 P(x)=ax2,a(x-1)2,ax(x-1),a(x-1)(x+1),a(x-ω)(x-ω2)

  =ax2,a(x-1)2,ax(x-1),a(x-1)(x+1),a(x2+x+1) 、

 Q(x)=P(x2)/P(x)

  =x4/x2,(x2-1)2/(x-1)2,x2(x2-1)/{x(x-1)},(x2-1)(x2+1)/{(x-1)(x+1)},(x4+x2+1)/(x2+x+1)

  =x2,(x+1)2,x(x+1),x2+1,x2-x+1=x2,x2+2x+1,x2+x,x2+1,x2-x+1 、

 その和は、5x2+2x+3 になります。


[参考] たけちゃんさんのコメントを参考に

 P(x)が3次式のときの Q(x)は、

 x3 ,x3+1 ,x3+x ,x3+x2 ,x3-x2+x ,x3+x2+x+1 ,x3+2x2+x ,x3+3x2+3x+1 ,

 x3+ix2-ix+1 ,x3-ix2+ix+1 ,

 x3-{(1+i√3)/2}x2-{(1-i√3)/2}x+1 ,x3-{(1-i√3)/2}x2-{(1+i√3)/2}x+1 ,

 x3-{(1+i√7)/2}x2-{(1-i√7)/2}x+1 ,x3-{(1-i√7)/2}x2-{(1+i√7)/2}x+1 です。

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Comments 20

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さっちゃんこ  
No title

こんばんは
千両の黄色なのでしょうか(?_?)
あまり見たことがないですね
赤も良いけど黄色の色も濃くて幸せを呼んでくれそうなきれいな色ですね ナイス☆

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
黄色の千両です。縁起ものですので、今日も使いました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰る通り、黄色の千両です。
赤と黄色と小鳥はどちらが好きなのでしょうか。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
万両・千両・百両・十両・一両を色も含めて全部並べたら……。
想像だけで楽しいですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難うございます。
[解答1]は割り算が面倒な気がするものですが、
このような問題ではけっこう楽に解けることが多いです。
それも、出題の狙いでしたが、みなさん感覚がよく、
この解法は敬遠されたようです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
この性質の式がこれだけに絞られるのは意外でした。
なんとなく思いついた問題です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、新年のご挨拶とコメントを有難うございます。
整式を求める問題は初めての出題だと思います。
Q(x)の個数と係数がうまい具合に問題になりました。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
P(x)を実数係数の3次式とした場合の考察を有難うございます。
時間があれば私も検討してみます。
申し訳ないのですが、今は時間がとれません。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
あまり見かけませんが、黄色の千両もあります。
これは都市緑化センターで見たものですが、他で見た記憶がありません。

古い人  
No title

遅くなりました。

正月の縁起物てすね千両の実ですね。
この植物は種で増やすことが出来ますね。
ナイス。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとナイス!を有難うございます。
仰る通り、縁起ものの千両を今日も使いました。

ひとりしずか  
No title

黄色の千両実物はまだみたことがなくて~

命輝いて見えます~
ナイス!

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、遅くなりましたが、時間が撮れましたので私なりに検討してみました。
係数が複素数のものも含めて、結果だけですがぜんぶ書き出しました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
黄色の千両は私もここ都市緑化センター以外で見かけた記憶がないのですが、
ここで良く見ますので、記憶が曖昧です。

たけちゃん  
No title

ヤドカリさん,検討をありがとうございます.
私も同じ結果を得ています.
具体的なQ(x)の表現はややめんどうですが,その和はきれいに出ますね.

ニリンソウ  
No title

黄色い千両ですね
これは珍しいです ナイス

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
仰る通り、和はきれいに出ます。
同じ書くなら具体的にと思って Q(x) を全部書きました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
黄色の千両はあまり見ませんが、今日、散歩に出かけたら花屋さんにもありました。
黄色もいいですね。

たけちゃん  
No title

b_1+b_2+b_4=(-1+√7i)/2,b_3+b_5+b_6=(-1-√7i)/2なので,
実は具体的なQ(x)もきちんと求まっていましたね.

ヤドカリさんはとっくに気付いておられたかと思いますが,
私は気付いていませんでした.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
私もこんなに簡単になるとは気づいていませんでした。
和と積を求めると簡単に求められますね。
具体的な数の方が見易いので[参考]を書き変えました。