[答526] 石の移動回数の期待値と標準偏差
[答526] 石の移動回数の期待値と標準偏差
図のように9マスの正方形があり、中央の1つ右ののマス目に黒石を置きます。
6つの面に 1,1,3,3,5,5 と書かれたサイコロを投げ、出た目の数だけ、
石が中央より右のマス目にある場合は左へ,石が中央より左のマス目にある場合は右へ、
移動させることを、石が中央のマス目に止まるまで繰り返します。
移動の(サイコロを投げる)回数を X とするとき、 X の期待値 E(X)=? また、標準偏差 σ(X)=?
[解答1]
下の図のように、石が黄色のマス目にあるとき、サイコロを投げて石を移動させると、
1/3 の確率で中央のマス目に止まり、 2/3 の確率で水色のマス目に止まります。
石が水色のマス目にあるとき、サイコロを投げて石を移動させると、必ず黄色のマス目に止まります。
サイコロを投げる回数 X の確率を P(X) とすれば、
P(1)=1/3,P(3)=(2/3)(1/3),P(5)=(2/3)2(1/3),P(7)=(2/3)3(1/3),…… 、
P(2)=P(4)=P(6)=P(8)=……=0 になります。
従って、n を自然数として、P(2n-1)=(1/3)(2/3)n-1 ,P(2n)=0 になります。
E(X+1)=2・P(1)+4・P(3)+6・P(5)+8・P(7)+……+2n・P(2n-1)+……
=2・(1/3)+4・(1/3)(2/3)+6・(1/3)(2/3)2+8・(1/3)(2/3)3+……+2n・(1/3)(2/3)n-1+……
=1・(2/3)+2・(2/3)2+3・(2/3)3+4・(2/3)4+……+n・(2/3)n+……
E((X+1)2)=22・P(1)+42・P(3)+62・P(5)+82・P(7)+……+(2n)2・P(2n-1)+……
=22・(1/3)+42・(1/3)(2/3)+62・(1/3)(2/3)2+82・(1/3)(2/3)3+……+(2n)2・(1/3)(2/3)n-1+……
=2・12・(2/3)+2・22・(2/3)2+2・32・(2/3)3+2・42・(2/3)4+……+2・n2・(2/3)n+……
ここで、-1<x<1 のとき、 x+x2+x3+x4+x5+……=x(1-x)-1
x で微分して、 1+2x+3x2+4x3+5x4+……=(1-x)-2
x を掛けて、 x+2x2+3x3+4x4+5x5+……=x(1-x)-2 ……(1)
x で微分して、 12+22x+32x2+42x3+52x4+……=(1+x)(1-x)-3
2x を掛けて、 2・12x+2・22x2+2・32x3+2・42x4+2・52x5+……=2x(1+x)(1-x)-3 ……(2)
(1),(2)に x=2/3 を代入すれば、
E(X+1)=(2/3)(1-2/3)-2=6 ,E((X+1)2)=2(2/3)(1+2/3)(1-2/3)-3=60 、
V(X+1)=E((X+1)2)-(E(X+1))2=60-62=24 、σ(X+1)=2√6 となって、
E(X)=E(X+1)-1=5 ,σ(X)=σ(X+1)=2√6 です。
[解答2] 収束することを前提として
[解答1]のように、サイコロを投げる回数 X の確率を P(X) とすれば、
P(1)=1/3,P(3)=(2/3)(1/3),P(5)=(2/3)2(1/3),P(7)=(2/3)3(1/3),…… 、
P(2)=P(4)=P(6)=P(8)=……=0 になります。
従って、n を自然数として、P(2n-1)=(1/3)(2/3)n-1 ,P(2n)=0 になります。
E(X)=1・(1/3)+3・(1/3)(2/3)+5・(1/3)(2/3)2+7・(1/3)(2/3)3+……
E(X+2)=3・(1/3)+5・(1/3)(2/3)+7・(1/3)(2/3)2+9・(1/3)(2/3)3+……
(2/3)(E(X)+2)=E(X)-1/3 、2E(X)+4=3E(X)-1 、E(X)=5 です。
E(X2)=12・(1/3)+32・(1/3)(2/3)+52・(1/3)(2/3)2+72・(1/3)(2/3)3+……
E((X+2)2)=32・(1/3)+52・(1/3)(2/3)+72・(1/3)(2/3)2+92・(1/3)(2/3)3+……
(2/3)(E(X2)+4E(X)+4)=E(X2)-1/3 、2E(X2)+8・5+8=3E(X2)-1 、E(X2)=49 、
V(X)=E(X2)-(E(X))2=49-52=24 、σ(X)=2√6 です。
[参考] 幾何分布
P(X=k)=p(1-p)k-1 のとき、確率変数 X はパラメータ p の幾何分布に従うといい、
期待値は 1/p ,分散は (1-p)/p2 です。
例えば、どの回においても確率 p で成功する試行を繰り返し、初めて成功するまでの試行回数 X は、
パラメータ p の幾何分布に従います。
本問では、P((X+1)/2=k)=(1/3)(2/3)k-1 だから、
E((X+1)/2)=1/(1/3)=3 ,V((X+1)/2)=(2/3)/(1/3)2=6 、
E(X+1)=6 ,V(X+1)=24 、 E(X)=5 ,V(X)=24 です。
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