[答526] 石の移動回数の期待値と標準偏差

[答526] 石の移動回数の期待値と標準偏差


　図のように９マスの正方形があり、中央の１つ右ののマス目に黒石を置きます。

　６つの面に 1，1，3，3，5，5 と書かれたサイコロを投げ、出た目の数だけ、

　石が中央より右のマス目にある場合は左へ，石が中央より左のマス目にある場合は右へ、

　移動させることを、石が中央のマス目に止まるまで繰り返します。

　移動の(サイコロを投げる)回数を X とするとき、 X の期待値 E(X)＝？　また、標準偏差 σ(X)＝？


[解答1]

　下の図のように、石が黄色のマス目にあるとき、サイコロを投げて石を移動させると、

　1/3 の確率で中央のマス目に止まり、 2/3 の確率で水色のマス目に止まります。

　石が水色のマス目にあるとき、サイコロを投げて石を移動させると、必ず黄色のマス目に止まります。

　サイコロを投げる回数 X の確率を P(X) とすれば、

　P(1)＝1/3，P(3)＝(2/3)(1/3)，P(5)＝(2/3)²(1/3)，P(7)＝(2/3)³(1/3)，…… 、

　P(2)＝P(4)＝P(6)＝P(8)＝……＝0 になります。

　従って、n を自然数として、P(2n－1)＝(1/3)(2/3)^n-1 ，P(2n)＝0 になります。

　E(X＋1)＝2･P(1)＋4･P(3)＋6･P(5)＋8･P(7)＋……＋2n･P(2n－1)＋……

　 ＝2･(1/3)＋4･(1/3)(2/3)＋6･(1/3)(2/3)²＋8･(1/3)(2/3)³＋……＋2n･(1/3)(2/3)^n-1＋……

　 ＝1･(2/3)＋2･(2/3)²＋3･(2/3)³＋4･(2/3)⁴＋……＋n･(2/3)ⁿ＋……

　E((X＋1)²)＝2²･P(1)＋4²･P(3)＋6²･P(5)＋8²･P(7)＋……＋(2n)²･P(2n－1)＋……

　 ＝2²･(1/3)＋4²･(1/3)(2/3)＋6²･(1/3)(2/3)²＋8²･(1/3)(2/3)³＋……＋(2n)²･(1/3)(2/3)^n-1＋……

　 ＝2･1²･(2/3)＋2･2²･(2/3)²＋2･3²･(2/3)³＋2･4²･(2/3)⁴＋……＋2･n²･(2/3)ⁿ＋……

　ここで、－1＜x＜1 のとき、 x＋x²＋x³＋x⁴＋x⁵＋……＝x(1－x)^-1

　x で微分して、 1＋2x＋3x²＋4x³＋5x⁴＋……＝(1－x)^-2

　x を掛けて、 x＋2x²＋3x³＋4x⁴＋5x⁵＋……＝x(1－x)^-2 ……(1)

　x で微分して、 1²＋2²x＋3²x²＋4²x³＋5²x⁴＋……＝(1＋x)(1－x)^-3

　2x を掛けて、 2･1²x＋2･2²x²＋2･3²x³＋2･4²x⁴＋2･5²x⁵＋……＝2x(1＋x)(1－x)^-3 ……(2)

　(1)，(2)に x＝2/3 を代入すれば、

　E(X＋1)＝(2/3)(1－2/3)^-2＝6 ，E((X＋1)²)＝2(2/3)(1＋2/3)(1－2/3)^-3＝60 、

　V(X＋1)＝E((X＋1)²)－(E(X＋1))²＝60－6²＝24 、σ(X＋1)＝2√6 となって、

　E(X)＝E(X＋1)－1＝5 ，σ(X)＝σ(X＋1)＝2√6 です。


[解答2] 収束することを前提として

　[解答1]のように、サイコロを投げる回数 X の確率を P(X) とすれば、

　P(1)＝1/3，P(3)＝(2/3)(1/3)，P(5)＝(2/3)²(1/3)，P(7)＝(2/3)³(1/3)，…… 、

　P(2)＝P(4)＝P(6)＝P(8)＝……＝0 になります。

　従って、n を自然数として、P(2n－1)＝(1/3)(2/3)^n-1 ，P(2n)＝0 になります。

　E(X)＝1･(1/3)＋3･(1/3)(2/3)＋5･(1/3)(2/3)²＋7･(1/3)(2/3)³＋……

　E(X＋2)＝3･(1/3)＋5･(1/3)(2/3)＋7･(1/3)(2/3)²＋9･(1/3)(2/3)³＋……

　(2/3)(E(X)＋2)＝E(X)－1/3 、2E(X)＋4＝3E(X)－1 、E(X)＝5 です。

　E(X²)＝1²･(1/3)＋3²･(1/3)(2/3)＋5²･(1/3)(2/3)²＋7²･(1/3)(2/3)³＋……

　E((X＋2)²)＝3²･(1/3)＋5²･(1/3)(2/3)＋7²･(1/3)(2/3)²＋9²･(1/3)(2/3)³＋……

　(2/3)(E(X²)＋4E(X)＋4)＝E(X²)－1/3 、2E(X²)＋8･5＋8＝3E(X²)－1 、E(X²)＝49 、

　V(X)＝E(X²)－(E(X))²＝49－5²＝24 、σ(X)＝2√6 です。


[参考] 幾何分布

　P(X＝k)＝p(1－p)^k-1 のとき、確率変数 X はパラメータ p の幾何分布に従うといい、

　期待値は 1/p ，分散は (1－p)/p² です。

　例えば、どの回においても確率 p で成功する試行を繰り返し、初めて成功するまでの試行回数 X は、

　パラメータ p の幾何分布に従います。

　本問では、P((X＋1)/2＝k)＝(1/3)(2/3)^k-1 だから、

　E((X＋1)/2)＝1/(1/3)＝3 ，V((X＋1)/2)＝(2/3)/(1/3)²＝6 、

　E(X＋1)＝6 ，V(X＋1)＝24 、 E(X)＝5 ，V(X)＝24 です。

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