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[答526] 石の移動回数の期待値と標準偏差

ヤドカリ

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[答526] 石の移動回数の期待値と標準偏差


 図のように9マスの正方形があり、中央の1つ右ののマス目に黒石を置きます。

 6つの面に 1,1,3,3,5,5 と書かれたサイコロを投げ、出た目の数だけ、

 石が中央より右のマス目にある場合は左へ,石が中央より左のマス目にある場合は右へ、

 移動させることを、石が中央のマス目に止まるまで繰り返します。

 移動の(サイコロを投げる)回数を X とするとき、 X の期待値 E(X)=? また、標準偏差 σ(X)=?


[解答1]

 下の図のように、石が黄色のマス目にあるとき、サイコロを投げて石を移動させると、

 1/3 の確率で中央のマス目に止まり、 2/3 の確率で水色のマス目に止まります。

 石が水色のマス目にあるとき、サイコロを投げて石を移動させると、必ず黄色のマス目に止まります。

 サイコロを投げる回数 X の確率を P(X) とすれば、

 P(1)=1/3,P(3)=(2/3)(1/3),P(5)=(2/3)2(1/3),P(7)=(2/3)3(1/3),…… 、

 P(2)=P(4)=P(6)=P(8)=……=0 になります。

 従って、n を自然数として、P(2n-1)=(1/3)(2/3)n-1 ,P(2n)=0 になります。

 E(X+1)=2・P(1)+4・P(3)+6・P(5)+8・P(7)+……+2n・P(2n-1)+……

  =2・(1/3)+4・(1/3)(2/3)+6・(1/3)(2/3)2+8・(1/3)(2/3)3+……+2n・(1/3)(2/3)n-1+……

  =1・(2/3)+2・(2/3)2+3・(2/3)3+4・(2/3)4+……+n・(2/3)n+……

 E((X+1)2)=22・P(1)+42・P(3)+62・P(5)+82・P(7)+……+(2n)2・P(2n-1)+……

  =22・(1/3)+42・(1/3)(2/3)+62・(1/3)(2/3)2+82・(1/3)(2/3)3+……+(2n)2・(1/3)(2/3)n-1+……

  =2・12・(2/3)+2・22・(2/3)2+2・32・(2/3)3+2・42・(2/3)4+……+2・n2・(2/3)n+……

 ここで、-1<x<1 のとき、 x+x2+x3+x4+x5+……=x(1-x)-1

 x で微分して、 1+2x+3x2+4x3+5x4+……=(1-x)-2

 x を掛けて、 x+2x2+3x3+4x4+5x5+……=x(1-x)-2 ……(1)

 x で微分して、 12+22x+32x2+42x3+52x4+……=(1+x)(1-x)-3

 2x を掛けて、 2・12x+2・22x2+2・32x3+2・42x4+2・52x5+……=2x(1+x)(1-x)-3 ……(2)

 (1),(2)に x=2/3 を代入すれば、

 E(X+1)=(2/3)(1-2/3)-2=6 ,E((X+1)2)=2(2/3)(1+2/3)(1-2/3)-3=60 、

 V(X+1)=E((X+1)2)-(E(X+1))2=60-62=24 、σ(X+1)=2√6 となって、

 E(X)=E(X+1)-1=5 ,σ(X)=σ(X+1)=2√6 です。


[解答2] 収束することを前提として

 [解答1]のように、サイコロを投げる回数 X の確率を P(X) とすれば、

 P(1)=1/3,P(3)=(2/3)(1/3),P(5)=(2/3)2(1/3),P(7)=(2/3)3(1/3),…… 、

 P(2)=P(4)=P(6)=P(8)=……=0 になります。

 従って、n を自然数として、P(2n-1)=(1/3)(2/3)n-1 ,P(2n)=0 になります。

 E(X)=1・(1/3)+3・(1/3)(2/3)+5・(1/3)(2/3)2+7・(1/3)(2/3)3+……

 E(X+2)=3・(1/3)+5・(1/3)(2/3)+7・(1/3)(2/3)2+9・(1/3)(2/3)3+……

 (2/3)(E(X)+2)=E(X)-1/3 、2E(X)+4=3E(X)-1 、E(X)=5 です。

 E(X2)=12・(1/3)+32・(1/3)(2/3)+52・(1/3)(2/3)2+72・(1/3)(2/3)3+……

 E((X+2)2)=32・(1/3)+52・(1/3)(2/3)+72・(1/3)(2/3)2+92・(1/3)(2/3)3+……

 (2/3)(E(X2)+4E(X)+4)=E(X2)-1/3 、2E(X2)+8・5+8=3E(X2)-1 、E(X2)=49 、

 V(X)=E(X2)-(E(X))2=49-52=24 、σ(X)=2√6 です。


[参考] 幾何分布

 P(X=k)=p(1-p)k-1 のとき、確率変数 X はパラメータ p の幾何分布に従うといい、

 期待値は 1/p ,分散は (1-p)/p2 です。

 例えば、どの回においても確率 p で成功する試行を繰り返し、初めて成功するまでの試行回数 X は、

 パラメータ p の幾何分布に従います。

 本問では、P((X+1)/2=k)=(1/3)(2/3)k-1 だから、

 E((X+1)/2)=1/(1/3)=3 ,V((X+1)/2)=(2/3)/(1/3)2=6 、

 E(X+1)=6 ,V(X+1)=24 、 E(X)=5 ,V(X)=24 です。

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Comments 14

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古い人  
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今日の花はキンギョ草ですか。

此の頃は効した花が多くて名前を覚えるが大変です。
でも綺麗ですね。ナイス。

アキチャン  
No title

おはようございます。
うちにも咲かせていましたが、ピンク色が多いです(o^-^o)
白いのもいいですね♪ナイス!

樹☆  
No title

おはようございます。
最近花びらが大きい金魚草をみました。
これもそうかな・・
優しい色合いに癒されます~ナイスです。

tsuyoshik1942  
No title

最初はPCに計算させました。その後、真っ当な手法を試みたのですが解けませんでした。
PCで(2n-1)*1/3*(2/3)^(n-1)を実際に(1からnまで)計算しました。
ちなみに、n=20→4.98、30→4.999、50→4.999999 でした。
今、解説を拝見するも多くは未消化ですが、少しずつ進んでいるような気がします。

uch*n*an  
No title

これは,標準偏差の計算に若干手間取りましたが,思ったよりは容易な問題でした。
私の解法は四つ。細かい計算の仕方に違いはありますが,
(解法1)が[解答1],(解法2),(解法3),(解法4)が[解答2],と等価でした。
(解法2)~(解法4)は,主に標準偏差の計算に順次工夫をしていったものです。
「幾何分布」というのは,確かにそういうのがあったなぁ,と思い出しましたが,
すっかり忘れておりました。復習になりました。
なお,
>P(X=k)=p(1-p)^2 のとき、確率変数 X はパラメータ p の幾何分布に従うといい、
最初のところは,P(X=k)=p(1-p)^(k-1),ですね。

ニリンソウ  
No title

キンギョ草でしょうか!
接近してもよく撮れています、外に咲いているのかな
雪の降らない地方はいいですね

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
白い金魚が可愛いですね
薄黄色の花弁がまるで金魚の尻尾のようです
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
花の名前は難しいですね。
でも、キンギョ草は馴染みがあってすぐわかります。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ピンクの方が名前をイメージし易いですね。
いずれにしても、寒い時期に咲いてくれるのが嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
なぜか、最近の金魚草は花が大きいように思います。
私にはよく分かりませんが、品種改良されているのかもしれません。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
かなり近い値になるのですね。
PCの発達は驚異的です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントとミスの指摘を有難う御座います。
私も幾何分布を忘れていて、問題を作り答を出してから思い出しました。
この手の問題はできたと思っても、すでに名前が付いているものですね。

なお、指数はタグを使っています。
コピペしたあとタグの間を変えるのを忘れていました。
ご指摘いただき、さっそく直させて頂きました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、外に咲いています。
雪国に方に憤慨されるような言い方かも知れませんが、
雪景色がない分、少ないながら冬でも花は見られます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
そちらほど花が咲いていませんので、
金魚草は冬に花がみられる嬉しい植物です。
よく見ると複雑な形ですね。