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[答527] 漸化式で定義された数列の第50項

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答527] 漸化式で定義された数列の第50項


 すべての項が正である数列{ an }において、

 a1=1, 1/an+1-an+1=1/an+an (n=1,2,3,……)

 が成り立つとき、a50=?


[解答1]

 (1/an+1-an+1)2=(1/an+an)2 、1/an+12+an+12=1/an2+an2+4 、

 よって、数列{ 1/an2+an2 }は公差 4 の等差数列になり、1/an2+an2=1/a12+a12+4(n-1)=4n-2 です。

 1/an+an>0 に注意して、(1/an+an)2=1/an2+an2+2=4n 、1/an+an=2√n 、

 1/an-an=1/an-1+an-1>0 に注意して、(1/an-an)2=1/an2+an2-2=4n-4 、1/an-an=2√(n-1) 、

 従って、an=√n-√(n-1) となります。

 n=50 のとき、a50=√50-√49=5√2-7 になります。


[解答2]

 1/an+1-an+1=1/an+an より、1/ak+1-1/ak=ak+1+ak

 a1+a2+……+an=Sn とし、k=1,2,3,……,n を代入して加えると、

 1/an+1-1/a1=(Sn+an+1-a1)+Sn

 1/a1=a1 だから、an+1+2Sn=1/an+1 、an+12+2Snan+1=1 、(an+1+Sn)2=Sn2+1 、Sn+12=Sn2+1 となって、

 数列{ Sn2 }は公差 1 の等差数列になり、Sn2=S12+(n-1)=n 、Sn>0 だから、Sn=√n です。

 n≧2 のとき、an=Sn-Sn-1=√n-√(n-1) となります。 ( a1=√1-√(1-1) も成り立ちます )

 n=50 のとき、a50=√50-√49=5√2-7 になります。

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Comments 20

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古い人  
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今日は大きな葉ボタンですね。

最近葉ボタンも此方ではミニが多く見られますよ。
小さな物は5センチから8センチ位のが見られますね。
ナイス、

ひとりしずか  
No title

散歩道の畑で毎年見ていたのですが
今季は雑草が・・

キレイですね~!
ナイス!

樹☆  
No title

おはようございます^^
すごく大きな葉ボタン畑・・お正月に飾りましたが
小さいものでした。。
バラの花みたいにきれいだけど
やはり葉ボタンの美しさです。。ナイスです。

こっこちゃん  
No title

おはようございます

大きな ハボタン見事ですね

こちらは2年前のがまだ元気です (笑)ナイス

ゆうこ つれづれ日記  
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ハボタンがたくさん~~~
いっぱい咲いていてきれいですね~
私のところでは、11月初旬の一回の霜で全滅でした・・・
きれいな葉ボタンに、ナイス☆

uch*n*an  
No title

これは,一見難しそうでしたが,見かけよりはずっと易しい問題でした。
私の解法は四つ。しかし,細かい計算の改良に過ぎず,すべて[解答1]と等価でした。
[解答2]は気付きませんでした。こんな風にも解けるんですね。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
解法1で納得☆
上手く作られてますねぇ^^;

4行目の...
>1/an+an=2√(n-1)
は...
1/anーan=2√(n-1)
ですね...。Orz~

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
小さな葉牡丹はよく見かけますが、大きなものが沢山並んでいたので、
思わずカメラを向けました。
葉が美しい植物もいいものです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
葉牡丹もすっかりこの季節を代表する植物になりました。
毎年見られるものが見られないと寂しいものですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
大きな葉牡丹がたくさん並んでいて見事でした。
花ほどカラフルでないのですが、これだけあると目立ちます。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
2年前のものといえば、春先には菜の花のような花が咲いたのでしょうか。
葉牡丹の花もいいですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
流石に北海道は寒いのですね。
1回の霜で全滅なんて、こちらでは考えられないことです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私は an の漸化式を Sn の漸化式に直して解く問題を考え、本問を作り、
[解答2]を想定解としましたが、 解き直して見て、[解答1]を見つけました。
その意味では失敗かなぁと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとミスの指摘を有難う御座います。
またやってしまいました。コピペしての直し忘れです。早速直しました。
問題としては面白く出来たと思います。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
葉牡丹が見事ですね
ちりめんのような葉っぱがとても綺麗です ナイス☆

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
葉牡丹が見事に並んでいました。
これだけ並んでいると目が奪われます。

ニリンソウ  
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葉ボタンの畑ですか?
これに花が咲いたらまた綺麗ですね

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ある駅の駅前の花壇にありました。
花が咲くまでそのまま植えられているかどうか分かりませんが、
咲いたら綺麗だと私も思います。

アキチャン  
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おはようございます。
最近、気ままに睡眠をとっていたら、こんな時間に起きてしまいますf(^。^;
訪問が遅れてゴメンナサイネ。
お正月には、家でも必ず 紅白で植えてます。
たくさん並んで圧巻ですね(o^-^o)ナイス!

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
必ず紅白で植えるなんて素敵ですね。
毎年同じことを続けられるのは幸せなことです。