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[答528] 展開図で示された立体の体積

ヤドカリ

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[答528] 展開図で示された立体の体積


 長方形4個と等脚台形8個でできた、図のような展開図をもつ十二面体の体積は?


[解答1]

 組み立てると穴のあいた十二面体になり、上から見ると下中図上のようになり、

 中央の点線の所で切ると、下中図下のようになり、示された長さを a,h とします。

 3辺が 10,9,17 の三角形は、(10+9+17)/2=18 だから、

 面積は 9a/2=√{18(18-10)(18-9)(18-17)}=√(18・8・9)=36 、a=8 になり、

 穴の小さい方の正方形の1辺(等脚台形の短い辺)の長さは、42-2・8=26 です。

 底面積が S,T,高さが h の角錐台・円錐台の体積は {S+√(ST)+T}h/3 だから、求める体積は、

 422・9+(262+26・42+422)h/3-(262+26・42+422)(h+9)/3

  =422・9-(262+26・42+422)・9/3=15876-10596=5280 です。


[解答2] バームクーヘン積分の考え方で

 [解答1]と同様に、3辺が 10,9,17 の三角形の面積は 36 ,a=8 になり、

 穴の小さい方の正方形の1辺の長さは、42-2・8=26 です。

 右下図の青線のように、上から見た図で中心から x の距離で正方形状に切断すれば、

 正方形の周囲の長さが 8x ,切り口の高さは (9/8)(x-13) だから、

 面積は 8x・(9/8)(x-13)=9x(x-13)=9x2-117x になります。

 求める体積は、

 ∫1321 (9x2-117x)}dx=3[x3]1321-(117/2)[x2]1321=3(9261-2197)-(117/2)(441-169)=5280 です。


[解答3] パップス・ギュルダンのように

 バームクーヘン積分の考え方で[解答2]のように計算できるので回転体と同様に、

 三角形の面積と重心の移動距離を掛けて、 36・8(21-8/3)=12・8(63-8)=5280 です。

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Comments 20

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
これは、雄雌がありますよね(o^-^o)
ナイス!

ニリンソウ  
No title

雪国育ちでは目にしない?
これは花か芽か

ナイス

Yasuko  
No title

㌰㌰㌰㌰⋛⋋( 'Θ')⋌⋚( 'Θ')⋌⋚( 'Θ')⋌⋚オハオハオハ

これは、ちと分かりません^_^;
葉は見たことがあるのですが。・゚゚・(>д<;)・゚゚・。 ヒィッ

Σd(≧∀≦*)ナイス!□_ρ(∇≦*)ポチッ♪

uch*n*an  
No title

これは,立体の形状が分かれば何とかなる問題でしょう。
ただ,評価の難しいところですが,算数にはならないもののほとんど算数のような問題なので,
[解答1]のようにより算数っぽく単純に解くか,[解答2]のように積分を使うか。
個人的には,この問題では積分を持ち出すまでもないだろう,というのが本音ですが,
[解答3]につなげる,という意味では興味深い解法です。
もっとも,[解答3]も議論の余地がありそうな解法で,この解答の並びからは「なるほど!」ですが,
単独にポンと書かれたら,理解して書いているのか,あてずっぽうなのか,判断に迷いそうです。
その意味では,天才型の直感っぽい解法かなぁ。そう割り切れば,すごい解法ですね!
私の解法は二つ。可能な限り算数や中学数学の範囲で解きました。
(解法1)は,ご参考までに書いておきます。考え方は違いますが,実は,[解答3]と等価です。
(解法2)は,算数っぽく中学数学の範囲で解きましたが,[解答1]と同じ考え方でした。

uch*n*an  
No title

(解法1)
展開図を組み上げると,
42 * 9 を底面としたときに,底面及び 42 の辺に垂直な断面が 10,17,9 の三角形になり,
両端の面が底面と 45°傾いた屋根型状の立体 4 個がつながった立体になります。
10,17,9 の三角形は,
10 と 17 の辺の交点の頂点から 9 の辺(の延長)に下ろした垂線の長さが,
3:4:5,8:15:17 の直角三角形などを用いて 8 と分かります。
屋根型状の立体を底面及び 42 の辺に垂直な断面で二等分すると,
それぞれが鏡映対称で体積の等しい断頭三角柱になるので,求める体積は,
(9 * 8 * 1/2) * (21 + 21 + (21 - 8))/3 * 2 * 4 = 36 * 55/3 * 8 = 5280
になります。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは全然ピンときませんでしたが...^^;
下の面と上の面を折り曲げて繋がってると考えればいいのですね...
わたしゃ...こんなフォルムは思いもつきませんでした...☆
上と下に穴を持って広がってる形の、穴に蓋をしたものの体積を求めるのかと...でもそれの高さの求め方わからず...^^;...Orz...

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
大きなソテツに実がぎっしり出来ているようですね
昔は宮崎はこのソテツの実をくりぬき鈴を入て出来たお土産品があちこちで売られていた物です
今のあるのかしら(・・?

ナイス☆

樹☆  
No title

わっ!!すご~~~いです。(=‘x‘=)
この中にオレンジの実が詰まっているのですね~~
そうそう上の方が仰るように・・種で作った豚さんみたことがあります。ナイスです。

ひとりしずか  
No title

こんばんは
ソテツの雌花ですか・・・
はじめて見ます~
南国の木でこちらには無い木ですね

ナイス!

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
これは大阪市の長居植物園のソテツの樹です。
その南の堺市にはけっこうたくさんのソテツが植えられています。

ヤドカリ  
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古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
中身は実ですが、外は葉だと思います。
植物の花は葉が変化したものだそうで、ソテツを見ると納得できそうです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントとミスの指摘を有難う御座います。
早速訂正しました。
(……)(h+9)/3 をコピペして片方を (h+9) ⇒ h としたのですが、
変える方を間違えました。
コピペは便利ですが、よく間違いを起こしてしまいます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このような、中生代を思わせる裸子植物は雌雄があるのが多いですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ソテツはこちらにはよくあります。
蘇鉄山という日本一低い一等三角点のある山にもあります。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ソテツは、堺市の大仙公園にもありますし、妙国寺のも有名です。
写真のは大阪市の長居植物園のものです。
機会があれば、どこかでご覧下さいね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
出題の狙いは、穴あきの立体であることと、[解答3]でした。
私も、積分は大袈裟と思いますが、ご推察どおり[解答3]の理由付けです。
理由を示すのは難しいですが、パップス・ギュルダン風の解き方は
答だけの問題や検算には有効ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
形が分かれば何とかなった問題だと思います。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
昔の宮崎で売られていたソテツの実をくりぬき鈴を入れたお土産品というのは、
宮崎が新婚旅行のメッカだったときの話でしょうか?
確かに南国をイメージできる植物ですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
種はブタさんになっていたのですか。
長居植物園のソテツは、
戦後、南西諸島がアメリカから本土に復帰したときの記念植樹だそうです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
こちらではよく見かけるので、あまり写真も撮っていませんでしたが、
よく見るとなかなか味わいのある植物なので載せました。