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[答529] 2400円の支払い方

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答529] 2400円の支払い方


 100円硬貨,50円硬貨,10円硬貨を混ぜて 2400円を支払う方法は何通り?

 どの硬貨も1枚は使うものとします。


[解答1]

 100円硬貨と50円硬貨の枚数が決まれば、10円硬貨の枚数は決まります。

 100円硬貨を x 枚,50円硬貨を y 枚とすると、 100x+50y<2400 、y<2(24-x) となって、

 x=1,2,3,……,23 のとき 自然数 y の値は 45,43,41,……,1 通りあるから、

 全部で 45+43+41+……+1=(45+1)・23/2=529 通りです。


[解答2]

 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ と、24個の□を並べ、

 その上に硬貨を 100円分ずつ、左から 100円硬貨,50円硬貨,10円硬貨の順に置きます。

 100円硬貨は1枚ずつ,原則として 50円硬貨は2枚ずつ,10円硬貨は10枚ずつですが、

 50円硬貨が奇数枚のときは 50円硬貨を置く最後の□を 50円硬貨1枚と10円硬貨5枚にします。

 そこで、24個の□のうち、100円硬貨を置く最後の□と50円硬貨を置く最後の□の選び方を考えます。

 50円硬貨が偶数枚のとき、10円硬貨を置く右端の□以外の 23個から2個を選べばよいから、232 通り、

 50円硬貨が奇数枚のとき、右端の□を含めて 24個から2個を選べばよいから、242 通り、

 よって、 232242=253+276=529 通りです。


☆ 100n 円を支払う方法の数は、 n-12n2=(n-1)(n-2)/2+n(n-1)/2=(n-1)2 になります。

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Comments 20

There are no comments yet.
Yasuko  
No title

ヾ(@⌒ー⌒@)ノおはよう

さてさて、何でしょ???
。・゚゚・(>д<;)・゚゚・。 ヒィッ 見慣れない葉っぱ

Σd(≧∀≦*)ナイス!□_ρ(∇≦*)ポチッ♪

uch*n*an  
No title

これは,いろいろと考えられるという意味で面白い問題でした。
私の解法は三つ。いずれもある程度一般化して解きました。
(解法1)は,[解答1]と同じ。
(解法3)は,[解答2]の結果のように組み合わせを使う解法ですが,少し違います。
(解法2)も,少し違う考え方の解法です。
(解法2)と(解法3)は,ご参考までに書いておきましょう。
なお,[解答2]は面白い考え方ですが,少し説明が分かりづらい気がします。
50円硬貨の置き方には決まりがあり,偶数個ならば50円硬貨2枚ずつだけ,
奇数個ならば可能な限り50円硬貨2枚ずつで最後だけが50円硬貨1枚と10円硬貨5枚,
と明記した方がよさそうです。括弧の中の記述が50円の置き方は任意のように読めるので。
また,どの硬貨も少なくとも一枚は使う,にも注意を促す方がいいと思います。

uch*n*an  
No title

(解法2)
100 円が x 枚,50 円が y 枚,10 円が z 枚,合計 10n 円,x,y,z,n は自然数,として,
100x + 50y + 10z = 10n,10x + 5y + z = n,n - 5(2x + y) = z >= 1
そこで,3 <= 2x + y <= [(n-1)/5] と取ればいいです。
ここで,2x + y = 2k+1 の解は k 通り,2x + y = 2(k+1) の解は k 通り,に注意すると,
3 <= 2x + y <= 2m+1 の解は,
Σ[k=1,m-1]{2k} + m = m(m-1) + m = m^2 通り
この問題では n = 240 なので,[(n-1)/5] = 2 * 23 + 1,m = 23,なので,
23^2 = 529 通り,になります。

uch*n*an  
No title

(解法3)
100 円が x 枚,50 円が y 枚,10 円が z 枚,合計 100n 円,x,y,z,n は自然数,として,
100x + 50y + 10z = 100n,10x + 5y + z = 10n
z は 5 の倍数なので u を自然数として z = 5u とすると,
10x + 5y + 5u = 10n,2x + y + u = 2n

uch*n*an  
No title

ここで,X,Y,Z を自然数として,
x = X,y = 2Y,u = 2Z のとき,2X + 2Y + 2Z = 2n,X + Y + Z = n,で,
この解の組は,
区別しない n 個のボールを区別する 3 個の箱にそれぞれ 1 個以上入れる場合の数なので,
((n-3)+2)C2 = (n-1)C2 通り。
x = X,y = 2Y-1,u = 2Z-1 のとき,2X + (2Y-1) + (2Z-1) = 2n,X + Y + Z = n+1,で,
この解の組は,
区別しない n+1 個のボールを区別する 3 個の箱にそれぞれ 1 個以上入れる場合の数なので,
((n+1-3)+2)C2 = nC2 通り。
そこで,最初の求める解の組は,(n-1)C2 + nC2 = (n-1)(n-2)/2 + n(n-1)/2 = (n-1)^2 通り。
この問題では n = 24 なので,(24 - 1)^2 = 23^2 = 529 通り,になります。

ニリンソウ  
No title

皆さんが何でしょう?
私も何ですか?
とにかく面白い植物問題です、籾殻がみえるから
大事な野菜なんでしょう。

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
完全お手上げですね 高菜の葉っぱでも無さそうだし
さて この正体 一体何なのでしょうね ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
今日はいまだ飯抜きの状態...^^;

わたしのは...uch*n*anさんの解法2と等価かな ^^
やどかりさんの解答2は考えもしませんでしたが...独特ですね☆
50円偶数のときは、100円の最後と50円2枚の最後の一2カ所を10円が最低1カ所いるので23カ所から選び、奇数のときは100円の最後と50円+10円5枚の最初の位置の2カ所を24カ所から選べば、いずれのこうかも最低枚選んでることになるってことですね ^^

ヤドカリ  
No title


写真の植物を問題にする心算はありませんでしたが、リーフレタスという、
非結球レタスです。緑色のものもありますが、サニーレタスのように、
アントシアンが発現し、赤みを帯びる品種もあります。
成長するに従い、下葉を収穫しながら食用にするそうです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
上記のように、写真の植物はリーフレタスです。
白っぽい土に陽がよくあたっていました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
レタスであることが分かるだけで偉いと思いました。
良妻(良菜)されていますね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
上記のようにリーフレタスです。
野菜は写真では分かりにくいものも多いですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
[解答1]は普通このように解きますので、目新しくないのですが、
[解答2]を見つけたのが嬉しく、出題しました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
野菜は食用と思われていますが、私は観賞用としても好きです。
農家でもない限りあまり見られないのが残念です。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
上に記しましたように、赤い品種です。
私も野菜が好きです。若い頃と違って肉は多くは食べられません。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
これも長居植物園で見ました。
野菜を植えてある一角があって、ときどき
野菜がこのように育つのだと思うことがあります。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと解答の記載を有難う御座います。
解答の意図を文にするのはなかなか難しいもので、
分かりにくいというご指摘に対し、[解答2]の表現を変えました。
このブログにコメントを下さらない方も見られていますので、
今後も分かりにくい表現はできるだけ改善しようと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
「面白い植物問題」のつもりはありませんが、
そのように捉えて頂けてうれしいです。
でも、こんな写真ばかり載せて、皆さんに嫌われるのは怖いです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
正体はリーフレタスです。
私は見たとき、こんなレタスがあるのかと思いました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
コメントの下3行は仰る通りです。
下から4行目は、???です。