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[答530] 2円と三角形の面積

ヤドカリ

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[答530] 2円と三角形の面積


 半径が13の円Cと半径が19の円Dを2点で交わるように配置し、その交点をA,Bとします。

 いま、Bを通る直線と円CのB以外の交点をP,円DのB以外の交点をQ として、△APQを描きます。

 △APQの面積を最大にするように C,D,P,Q を決めるとき、CD=?


[解答1]

 C,Dが決まれば、∠APB,∠AQB は一定ですので、どのように △APQ を描いても相似になります。

 従って、AP,AQ がそれぞれの円の直径のときに △APQの面積が最大になります。

 このとき、△APQ=4△ACD で、AC=13,AD=19 だから、この面積を最大にするとき、∠CAD=90゚ です。

 従って、CD=√(132+192)=√530 になります。

☆ 相似に気付かなくても、AP,AQ を直径にすれば PQ はBを通り、

 さらに ∠PAQ=90゚ にすれば、△APQの面積は最大になります。


[解答2] uch*n*anさんの検算用

 AB と CD の交点を O(0,0),A(0,a),B(0,-a),C(-c,0),D(d,0),

 円C,円D の半径を r,R,a,c,d,r,R は正の実数,r≦R,とします。

 円C:(x+c)2+y2=r2,円D:(x-d)2+y2=R2,より,c2+a2=r2 ,d2+a2=R2

 また,m を実数として,直線 PQ は,y=mx-a,と書けるので,r,R の条件式も使って,

 Pのx座標=2(ma-c)/(m2+1) ,Qのx座標=2(ma+d)/(m2+1)

 そこで,△APQ=AB・{-(Pのx座標)+(Qのx座標)}/2=2a(c+d)/(m2+1)

 m は a,c,d とは独立に変化可能なので,m=0 のときに最大値 2a(c+d) をとります。

 さらに,コーシー・シュワルツの不等式より,

 2a(c+d)=2(ca+ad)≦2√(c2+a2)√(a2+d2)=2√(r2)√(R2)=2rR

 等号は,c/a=a/d,cd=a2,で成立します。

 このとき,c2+cd=r2 ,d2+cd=R2 ,c/d=r2/R2

 c=r2/√(r2+R2) ,d=R2/√(r2+R2) ,a=rR/√(r2+R2) となり,実現可能です。

 そして,CD=c+d=r2/√(r2+R2)+R2/√(r2+R2)=√(r2+R2)

 この問題では,r=13,R=19,なので,CD=√(132+192)=√(169+361)=√530 になります。

 ちなみに,△APQ の最大値は 2rR=2・13・19=494 です。


[解答3] Nemoさんのコメントより

 円Cの半径を r ,円Dの半径を R ,∠ACD=φ ,∠ADC=Φ ,∠ABP=θ とおきます。

 まず、ABを底辺としたとき、△APB,△AQBの高さの和が最大になるθを求めます。

 正弦定理より、PB=2r・sin(π-θ-φ)=2r・sin(θ+φ),BQ=2R・sin(θ-Φ) となるので、

 高さの和は

 {2r・sin(θ+φ)+2R・sin(θ-Φ)}sinθ

  =2(r・sinθcosφ+r・cosθsinφ+R・sinθcosΦ-R・cosθsinΦ)sinθ

  =2(r・cosφ+R・cosΦ)sin2θ (∵ r・sinφ=R・sinΦ=AB/2)

 よって、θ=π/2 のときに最大になります。

 このとき、∠ABP=∠QBA=π/2 となるので、AP,AQはそれぞれの円の直径になり、AP=2r,AQ=2R 、

 この条件下で△APQの面積が最大になるのは、∠PAQ=∠CAD=π/2 のとき。

 よって、CD=√(CA2+AD2)=√(r2+R2)=√530 です。


[解答4] sbr*d4*5さんのコメントより

 B から CD と平行な線を引き 円C,円Dとの交点をそれぞれ E, F とし

 ∠EAP=∠EBP=∠FBQ=∠FAQ=θ とすると

 四角形APEBでトレミーの定理を使って、

 AE・PB=EB・AP+AB・PE 、AE・PB=EB・(AE・cosθ)+AB・(AE・sinθ) 、PB=EB・cosθ+AB・sinθ 、

 四角形ABQFでトレミーの定理を使って

 AF・QB=FB・AQ-AB・QF 、AF・QB=FB・(AF・cosθ)-AB・(AF・sinθ) 、QB=FB・cosθ-AB・sinθ 、

 △PBA, △QAB で AB を底辺とする高さはそれぞれ PB・cosθ, BQ・cosθ

 これらより

 △APQ=(1/2)・AB・(PB+BQ)cosθ=(1/2)・AB・(EB・cosθ+AB・sinθ+FB・cosθ-AB・sinθ)cosθ

  =(1/2)・AB・(EB+FB)cos2θ=(1/2)・AB・EF・cos2θ

 よって θ=0 のとき すなわち PQがEFと一致し,∠CAD=90゚ のとき最大値となる。

 CD=√(AC2+AD2)=√(132+192)=√530 と なりました。

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Comments 20

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古い人  
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今日は素新ロウバイですね。

個の時期彼方此方でよい香りを放っていますね。
今年は少し遅れた成か香りが一段良い感じですね。
ナイス。

Yasuko  
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(ヾ(´・ω・`)ノオハヨウ(o´_ _)o)ペコッ

ソシンロウバイ✿私の好きなお花です゜+.ヽ(❀ฺ◕ฺ‿ฺ◕ฺ)ノ.+
小さな花だけど、よい香りが
春を感じますo(*^▽^*)oエヘヘ!

Σd(≧∀≦*)ナイス!□_ρ(∇≦*)ポチッ♪

こっこちゃん  
No title

おはようございます

ローバイは 透明な色ですてきですね

そちらも春が近くなってきましたね ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
さっそく、私も撮ってきましょう(o^-^o)
いい香りがしますネ♪ナイス!

樹☆  
No title

おはようございます。。
蝋梅のはなすてきですね。。いい香りでいっぱいでしょう。ナイスです。

tsuyoshik1942  
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ゴリゴリ計算の途中で相似形に気づき、その後はあっさり手仕舞いしました。
前にもありましたが、高度な計算をも求める「ヤドカリサイト」ならればの見事な伏線と思いました。

uch*n*an  
No title

これは,いろいろな解法があって,なかなか面白い問題ですね。
私の解法は二つ+α。
(解法1)及び(「+α」にあたる)その改良版は,
すべての △APQ が相似,には気付きませんでしたが,☆の考え方で基本的に[解答1]と同じ。
(解法2)は,[解答2]。面倒になるのも覚悟したのですが,思ったよりは簡単に解けました。

なお,明日は朝から忙しくなりそうなので,遅れての参加になるかもです。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

蝋を溶かして作ったお花のようですね。
なんとも言えない美しさがあります。
香りもするとか?
ナイス☆
北海道では生息していないです。

さっちゃんこ  
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こんばんは
素心蝋梅 透き通るような花弁が良いですね
ほのかな匂いが此処まで届きそうです ナイス☆

ヤドカリ  
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古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ソシンロウバイの淡い黄色は素敵です。
ようやく綺麗に咲いているのを見ました。

ヤドカリ  
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yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
このソシンロウバイは堺市の都市緑化センターに咲いていました。
ほんとうに春を感じますね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰る通り、こちらも春が近づいてきたようです。
南国宮崎よりは遅いですが、少しずつ近づいています。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
私はなかなか撮る気になるロウバイに出会えませんでした。
撮れるのなら、さっそく撮ってきましょうね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ロウバイは春を告げる花のひとつですね。
色と香りが素敵ですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
単純に作った三角形がいつでも相似になることは不思議な気がします。
理由を考えれば当然なのですが、それでも不思議です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難うございます。
解法がいろいろあるのはまとめる方としては大変ですが、
こんなに単純な図形に相似が隠れていたのがうれしいです。
明日からの解答はごゆっくり、無理をなさらないで下さいね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
北海道の気温では生育しないのか、誰も育てないのか知りませんが、
北海道でも見られたらいいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
ソシンロウバイの透き通るような黄色は私も好きです。
春を迎える季節の花ですね。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
わたしも相似には気づかなかったです...☆
単純に考えて...2辺が直径でその間の角度が90°であればいいって...^^;
その直角三角形を描いて...Aから垂線を引いた点をBとすれば...ABで重なる円が描けるので存在するってことを言わなくちゃいけませんでした...
Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
いつも相似になるというのは面白い性質です。
面白い性質をもつ図形が他にもあるのでしょうね。