FC2ブログ

Welcome to my blog

[答531] 等式を満たす正の奇数

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答531] 等式を満たす正の奇数


 a+b2+c=abc を満たす正の奇数の組 (a,b,c)=?


[解答]

 a+c=b(ac-b) だから ac-b=k とおけば、a+c=kb ……(1) ,b+k=ac ……(2) です。

 (1)+(2) より、a+c+b+k=kb+ac 、kb-k-b+ac-a-c=0 、(k-1)(b-1)+(a-1)(c-1)=2 、

 (k-1)(b-1)≧0,(a-1)(c-1)≧0 で、(a-1)(c-1)は4の倍数だから、(a-1)(c-1)=0 、

 よって、(k-1)(b-1)=2 、b-1 は偶数だから、(k-1,b-1)=(1,2) 、(k,b)=(2,3) です。

 与えられた等式より、a+9+c=3ac 、9ac-3a-3c=27 、(3a-1)(3c-1)=28 、

 3a-1,3c-1 は偶数だから、(3a-1,3c-1)=(14,2),(2,14) 、(a,c)=(5,1),(1,5) です。

 まとめると、(a,b,c)=(1,3,5),(5,3,1) です。


☆ (k,b)=(2,3) の後は、(1)(2)より a+c=6,ac=5 だから、

 a,c は x2-6x+5=0 の解としても、(a,c)=(5,1),(1,5) が求められます。


☆ 奇数の条件がなく、自然数であれば、(k-1)(b-1)+(a-1)(c-1)=2 より、

 ((k-1)(b-1),(a-1)(c-1))=(2,0),(1,1),(0,2) のいずれかになります。

 (k-1)(b-1)=2 のとき (k,b)=(2,3),(3,2) で、(a,c)=(5,1),(1,5) 、

 (a-1)(c-1)=2 のとき (a,c)=(2,3),(3,2) で、(k,b)=(5,1),(1,5) 、

 (k-1)(b-1)=(a-1)(c-1)=1 のとき、(k,b,a,c)=(2,2,2,2) になり、

 まとめると、以下の9通りの解を得ます。

 (a,b,c)=(1,3,5),(5,3,1),(1,2,5),(5,2,1),(2,1,3),(2,5,3),(3,1,2),(3,5,2),(2,2,2)

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
Yasuko  
No title

☆。◕‿◕。)ノ♡☆,。・:*:・゚おはよ~☆彡

わぁ~~チュリップ今年お初にお目にかかります(笑)
春ですねぇ~゚・:,。(✿ฺ❂ฺ◡ฺ❂ฺ)゚・:,。

Σd(≧∀≦*)ナイス!□_ρ(∇≦*)ポチッ♪

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしも答えは求められたけど...9個は導けなかったってことは...どこかおかしな理屈だったってことなのね...^^; Orz~

uch*n*an  
No title

これは,a + c = bk,ac = b + k,の形では,そこそこ有名問題のような気がしており,
実際,今までにも数回解いたような気がします。
私の解法も,大したことはないので最初から奇数の条件なしに解きましたが,[解答]と同じでした。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
かわいいチューリップ♪
最近のは背が高くないのがありますね(o^-^o)
ナイス!

ニリンソウ  
No title

おお子供も大人も見間違う事のない
チューリップ! 春には一番の花ですぅ
可愛いですよね(チューリップ生産も新潟市日本一)
買ってね。

ナイス

たけちゃん  
No title

解答1行目が私には斬新でした.
aとcの対称性には当然すぐに気付きますが,
bとac-bの対称性,さらには{a.c}と{b,ac-b}の対称性は,
まったく気付きませんでした.
対称性が高くなるように変数を導入する手法は勉強になりました.

ちなみに,私の解法は,次の手順によりました.
[1] a+c がbの偶数倍であることから,a,cの一方はb以上を得,
a=b=cが不適を示して,a,cの一方がbより大きいことを得る.
[2] a≧cとして,abが,a以上,b^2より大,c以上を確かめる.
[3] abc=a+b^2+c<3ab より,正の奇数cが1に限ることを得る.
[4] a+b^2+1=ab より,a=(b^2+1)/(b-1)=b+1+2/(b-1).
b-1が2の約数より,b=3を得る.
[5] a≧cの条件をはずして,a,cの入り替えを考慮して終了.
これだと,自然数解に拡張するのは難しいですね.

α+β=γδ,αβ=γ+δ の自然数解は有名問題ですか.私は初見でした.

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
もう路地上のチューリップが咲いているのですネ
私はまだ鉢植えのチューリップしか見ていません
蝋梅・梅・桜・そしてチューリップと春の花だよりが楽しみな季節に成ってきましたね

ナイス☆

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
チューリップの花言葉は愛なのですか。
小学校によく植えられているのもそれが理由になっているのでしょうか?

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私にとっても今年はじめてのチューリップです。
チューリップがどこでも見られるようになる季節が待ち遠しいですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
他にも解き方がありそうですが、私にとってのなるべく簡潔な解き方を示しました。
下手すると厄介な問題ですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私にとっても今年はじめてのチューリップです。
春を待つのは人間もチューリップも同じでしょうね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
このチューリップは堺市の都市緑化センター前で見ました。
春の訪れが近いことを思わせます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
9個では答が多すぎますので絞りました。
解き方は他にもあると思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私は a+b+c=abc が有名なので、1つを2乗にしたらこの問題になりました。
有名?だとは知りませんでしたが、旨く解けました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
チューリップは誰でも知っているありふれた花ですが、
大人になっていい花だなぁと思うようになりました。
可愛いですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
今年も貴女のブログでたくさんのチューリップは見られるのを楽しみにしています。
本格的な春を迎える花ですね。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
貴殿の解答はコンパクトにまとまっていました。
奇数解だけなら貴殿の解法より簡単には解けそうにありません。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
このチューリップはプランターに植えられていて、
都市緑化センターの前に並べられていました。
春の花だよりは、仰るように楽しみです。

uch*n*an  
No title

この問題は,a + b^2 + c = abc,b^2 - (ac)b + (a + c) = 0,と変形すれば,
a,c を自然数とし,2次方程式 x^2 - (ac)x + (a + c) = 0 が自然数解をもつとき,
a,c 及び自然数解を求めよ。
という問題と,実は等価です。
こう書かれると,初見でも,例えば,2次方程式の解を b,d とおいて,解と係数の関係から,
b + d = ac,bd = a + c,とするのは,自然で納得がいくと思います。
また,この流れでは,(x - b)(x - d) = x^2 - (ac)x + (a + c),より,x = 1 とおいて,
(1 - b)(1 - d) = 1 - ac + (a + c),(a - 1)(c - 1) + (b - 1)(d - 1) = 2
と,キーになる式も容易に導けます。
この問題は,ちょっと式の形が違うだけなのですが,気付かないと難しいのかも知れませんね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
式変形は簡単ですが、そのような見方ができるかどうかがカギですね。
解いた経験がないとなかなか気づかないと思います。