[答531] 等式を満たす正の奇数

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[答531] 等式を満たす正の奇数


　a＋b²＋c＝abc を満たす正の奇数の組 (a，b，c)＝？


[解答]

　a＋c＝b(ac－b) だから ac－b＝k とおけば、a＋c＝kb ……(1) ，b＋k＝ac ……(2) です。

　(1)＋(2) より、a＋c＋b＋k＝kb＋ac 、kb－k－b＋ac－a－c＝0 、(k－1)(b－1)＋(a－1)(c－1)＝2 、

　(k－1)(b－1)≧0，(a－1)(c－1)≧0 で、(a－1)(c－1)は４の倍数だから、(a－1)(c－1)＝0 、

　よって、(k－1)(b－1)＝2 、b－1 は偶数だから、(k－1，b－1)＝(1，2) 、(k，b)＝(2，3) です。

　与えられた等式より、a＋9＋c＝3ac 、9ac－3a－3c＝27 、(3a－1)(3c－1)＝28 、

　3a－1，3c－1 は偶数だから、(3a－1，3c－1)＝(14，2)，(2，14) 、(a，c)＝(5，1)，(1，5) です。

　まとめると、(a，b，c)＝(1，3，5)，(5，3，1) です。


☆ (k，b)＝(2，3) の後は、(1)(2)より a＋c＝6，ac＝5 だから、

　a，c は x²－6x＋5＝0 の解としても、(a，c)＝(5，1)，(1，5) が求められます。


☆ 奇数の条件がなく、自然数であれば、(k－1)(b－1)＋(a－1)(c－1)＝2 より、

　((k－1)(b－1)，(a－1)(c－1))＝(2，0)，(1，1)，(0，2) のいずれかになります。

　(k－1)(b－1)＝2 のとき　(k，b)＝(2，3)，(3，2) で、(a，c)＝(5，1)，(1，5) 、

　(a－1)(c－1)＝2 のとき　(a，c)＝(2，3)，(3，2) で、(k，b)＝(5，1)，(1，5) 、

　(k－1)(b－1)＝(a－1)(c－1)＝1 のとき、(k，b，a，c)＝(2，2，2，2) になり、

　まとめると、以下の９通りの解を得ます。

　(a，b，c)＝(1，3，5)，(5，3，1)，(1，2，5)，(5，2，1)，(2，1，3)，(2，5，3)，(3，1，2)，(3，5，2)，(2，2，2)

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