[答531] 等式を満たす正の奇数
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[答531] 等式を満たす正の奇数
a+b2+c=abc を満たす正の奇数の組 (a,b,c)=?
[解答]
a+c=b(ac-b) だから ac-b=k とおけば、a+c=kb ……(1) ,b+k=ac ……(2) です。
(1)+(2) より、a+c+b+k=kb+ac 、kb-k-b+ac-a-c=0 、(k-1)(b-1)+(a-1)(c-1)=2 、
(k-1)(b-1)≧0,(a-1)(c-1)≧0 で、(a-1)(c-1)は4の倍数だから、(a-1)(c-1)=0 、
よって、(k-1)(b-1)=2 、b-1 は偶数だから、(k-1,b-1)=(1,2) 、(k,b)=(2,3) です。
与えられた等式より、a+9+c=3ac 、9ac-3a-3c=27 、(3a-1)(3c-1)=28 、
3a-1,3c-1 は偶数だから、(3a-1,3c-1)=(14,2),(2,14) 、(a,c)=(5,1),(1,5) です。
まとめると、(a,b,c)=(1,3,5),(5,3,1) です。
☆ (k,b)=(2,3) の後は、(1)(2)より a+c=6,ac=5 だから、
a,c は x2-6x+5=0 の解としても、(a,c)=(5,1),(1,5) が求められます。
☆ 奇数の条件がなく、自然数であれば、(k-1)(b-1)+(a-1)(c-1)=2 より、
((k-1)(b-1),(a-1)(c-1))=(2,0),(1,1),(0,2) のいずれかになります。
(k-1)(b-1)=2 のとき (k,b)=(2,3),(3,2) で、(a,c)=(5,1),(1,5) 、
(a-1)(c-1)=2 のとき (a,c)=(2,3),(3,2) で、(k,b)=(5,1),(1,5) 、
(k-1)(b-1)=(a-1)(c-1)=1 のとき、(k,b,a,c)=(2,2,2,2) になり、
まとめると、以下の9通りの解を得ます。
(a,b,c)=(1,3,5),(5,3,1),(1,2,5),(5,2,1),(2,1,3),(2,5,3),(3,1,2),(3,5,2),(2,2,2)
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