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[答533] 円柱の交差部分の体積

ヤドカリ

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[答533] 円柱の交差部分の体積


 底面の半径が 1 の直円柱2つが垂直に交差しているとき、その内部の共通部分の体積V は?


[解答1]

 半径が 1 の球を内接させ、切り口が正方形になるように切断すれば、球の切り口である円が

 切り口の正方形に内接するから、カバリエリの原理により、

 V:4π/3=4:π 、V=16/3 になります。


[解答2] uch*n*anさんのアイデアより

 垂直に交差する二つの直円柱の中心軸を,それぞれ,x 軸,y 軸とし,

 それらに垂直に z 軸を入れて,通常の空間座標を導入します。

 立体は -1≦z≦1 にあることから,この範囲の z=t で切断すると,

 断面は一辺が 2√(1-t2) の正方形になるので,面積は 4(1-t2)=(2-2t)(2+2t) です。

 対角線の長さが 4 の正方形を底面とする,高さが 2 の正四角柱ABCD-EFGHの頂点のうち,

 B,D,E,Gを頂点とする四面体を正四角柱の底面から t+1 の高さで切断すると,

 二辺が 2-2t と 2+2t の長方形になります。

 カバリエリの原理より,求める体積はこの四面体の体積と等しく,(42/2)・2・(1-4・1/6)=16/3 です。


☆ 面積が 4(1-t2) と求められた時点で、体積は積分を用いて、

 ∫-11 4(1-t2)dt=8∫01 (1-t2)dt=8[t-t3/3]01=8・2/3=16/3 としても求められます。

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Comments 20

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こっこちゃん  
No title

おはようございます

ブルーデ あまり見かけない花ですね

名前が知りたいですよ”記事に名前入れて下さると嬉し敷く思います
ナイス

uch*n*an  
No title

これは確かに有名な問題でした。
私の解法は二つ。
(解法1)は,[解答2]と同じ座標系で 4(1-t^2) を積分しました。
(解法2)は,[解答2]の基になった解法で,長方形 (1 - t)(1 + t) を 0 <= t <= 1 で考え,
出来上がった屋根型形状を基にしました。[解答2]の方がいいですね。
[解答1]は,直方体から円すいを引くのは思い付きましたが,そこまででした。
なるほど,これは単純でいいですね。

ニリンソウ  
No title

これで花? 蕾?
蘭科の種類かなぁ~全くお手上げ!
名前 どなたか 楽しみです

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

uchinyanさんの(解法1)でした。ただ、自分には、切断面が正方形になることの理解、そして、その後の積分計算もままならず、
ようやく、(1-0)∫(1-t^2)dt*8=(1-1/3)*8=16/3 とし、答を得ました。

「解答1」および「解答2」はしゃれた格好のよい解法のようですが、この問題の標準的な解法は、むしろ(解法1)と思うのですが?
あまりに当たり前で面白味に欠けるのかもしれませんが、この(解法1)が欠落しているのは、このサイトをバイブルとしている方もあろうことを思うと好ましくないと思うのですが!

uch*n*an  
No title

そうそう,[解答2]の
>角線の長さが 4 の正方形を底面とする,高さが 2 の正四角柱ABCD-EFGHの頂点のうち,
の「角線」は「対角線」かな?

なお,ブログの趣旨次第ですが,tsuyoshik1942さんのコメントはごもっともだと思います。
積分を使わない,数学を楽しむ,という意味では,[解答1]や[解答2]はいいと思いますが,
積分を使った標準的な解法なしでいきなりは,マニアック過ぎ嫌味に感じる人もいるかも...?

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
全然イメージが浮かばなかったもので...パスしましたが...^^;
[解答1]で、イメージがつかめましたぁ♪
個人的にはすっきりシンプルが好みです☆
っていうか...わたしのような積分使い慣れてない人でも解明できる方法が取っ付きやすいともいえるかな ...?...^^;v

樹☆  
No title

こんにちは。
始めて見るお花です。。青いケシとか青い薔薇とか
ありますね。不思議で幻想てきな色です。。ナイスです

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
色はブルーで珍しいですがヒヤシンスの一種でしょうか
この種でピンクもあったように記憶しています
ナイス☆

ヤドカリ  
No title


写真の花は花の文化園に咲いていたもので、以下の説明がありました。
「ラケナリア ビリディフロラ」
キジカクシ科の球根植物で、冬に開花しますが、寒さにはやや弱く、
鉢植えが適します。種名のビリディフロラは「緑色の花」という意味で、
ラケナリアの仲間は100種ほどあり、その全てが南アフリカ原産です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
花の説明は上記の通りです。
珍しい花で、私も初めて見ました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
世界には不思議な花があるものですね。
こんな色の花はあまり見ません。目を見張りました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
朝、記事を載せるとき、目についた写真を添えています。
名前をど忘れすることもありますし、時間的に説明の余裕がないこともあります。
珍しい花の場合はなるべく名前をいれるよう心がけます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、2度にわたるコメントを有難う御座います。
仰る通り、「対角線」の「対」が抜けてしまいました。
コピペするときのドラッグの失敗だと思います。
積分での求め方については、皆さんお分かりの事だと思って省略しましたが、
ご要望がありましたので加えました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
花の文化園の温室で見、珍しいと思って撮りました。
名前は「ラケナリア ビリディフロラ」、私には覚えられない名前です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
バイブルは大袈裟だと思いますが、……。
積分での求め方は、皆さんお分かりの事だと思って省略しましたが、
貴殿の仰ることも尤もと思い、積分での求め方を加えました。
私の感覚と独断で書いている記事ですので、独善も多いと思います。
ご意見があればまたコメント下さい。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
もともと[解答1]だけしか用意していませんでした。
切り口をうまく考えれば体積が求められる典型的な例だと思って出題しました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
青い花は意外に少ないように思います。
野草ですぐ思い出すのが、オオイヌノフグリとツユクサ、
この花も原産地では野草かも知れませんね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
花の説明は上記の通りです。
花だけでなく、「キジカクシ科」というのも見なれない名前です。

ひとりしずか  
No title

こういう色の花もあるのですね~
「ラケナリア ビリディフロラ」<とても覚えられそうにありません
形も変わっていますね・・
文化園には珍しいものも沢山あるのでしょうね~

ナイス!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
花の文化園、珍しい花も多いのですが、
この花はひときわ目立っていました。