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[答534] 正多角形3個の面積

ヤドカリ

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[答534] 正多角形3個の面積


 正三角形・正方形・正六角形が1つずつあり、その周囲の長さの和が 2√59 のとき、

 その面積の和 S の最小値は?


[解答1]

 正三角形,正方形,正六角形の1辺の長さをそれぞれ 2x,2y,2z とすれば、

 3x+4y+6z=√59 ,S=(√3)x2+4y2+(6√3)z2 になります。

 コーシー・シュワルツの不等式により、

 (3√3+4+2√3){(√3)x2+4y2+(6√3)z2}≧(3x+4y+6z)2

 (5√3+4)S≧59 、(5√3+4)(5√3-4)S≧59(5√3-4) 、S≧5√3-4 となって、

 最小値は 5√3-4 です。

 S が最小になるのは、 (√3)x2:4y2:(6√3)z2=3√3:4:2√3 、 x2:y2:z2=3:1:1/3=9:3:1 、

 x:y:z=3:√3:1 のときです。


[参考1]

 コーシー・シュワルツの不等式、 (A2+B2+C2)(X2+Y2+Z2)≧(AX+BY+CZ)2 は 、

 A2=(AX)2/X2 ,B2=(BY)2/Y2 ,C2=(CZ)2/Z2 として、[解答]のように式を作ることができます。


[参考2] たけちゃんさんのコメントより

 面積の和が最小になるのは、3つの正多角形の内接円の半径が等しいときで、

 x:y:z=tan60゚:tan45゚:tan30゚=√3:1:1/√3=3:√3:1 のときです。


[解答2]

 正三角形,正方形,正六角形の1辺の長さをそれぞれ a,b,c とし、

 面積をそれぞれ x2,y2,z2 (x>0,y>0,z>0) とすれば、

 (√3)a2/4=x2 ,b2=y2,(6√3)a2/4=z2 、 a=(2/4√3)x ,b=y ,c=(2/4√108)z になり、

 3a+4b+6c=2√59 、3(2/4√3)x+4y+6(2/4√108)z=2√59 、

 (3/4√3)x+2y+(6/4√108)z=√59 で、これは xyz-空間内の平面を表します。

 S=x2+y2+z2 の最小値は原点とこの平面の距離の2乗だから、ヘッセの公式により、

 〔(√59)/√{(3/4√3)2+22+(6/4√108)2}〕2=59/{(3/4√3)2+22+(6/4√108)2}

  =59/(9/√3+4+36/√108)=59/(5√3+4)=59(5√3-4)/{(5√3+4)(5√3-4)}=5√3-4 です。

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Comments 20

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ニリンソウ  
No title

この色も素敵です!
来月になればクリスマスローズ展があちこちで
賑わいます。
これも新潟市特産の花ですから~

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
いまだコーシーシュワルツ使うことあたわず...^^;...
同じように考えたんだけどなぁ...?
内積も考えたんだけど...挫折...
不全感でいっぱい...Orz~

uch*n*an  
No title

これは,一次式と二次式の最小問題なので比較的標準的な問題でしたが,
うまく計算しないと計算が大変になりそうです。
私の解法は二つ。
(解法1)は,式の書き方が少し違いますが,[解答1]と同じ。
(解法2)は,[解答2]のアイディアと同じですが,球と平面ではなく楕円体と平面で考えたので,
一部,直感的には明らかとはいえ,大学レベルの知識を使いました。
[解答2]の方が高校数学の範囲で済むのでいいですね。
なお,最小値を与える辺の長さの比がキレイなので,図形的に何か意味があるのかな,
と思ったのですが,残念ながら分かりませんでした。

uch*n*an  
No title

あ,[解答2]の
>3x+4y+6z=2√59 、3(2/4√3)x+4y+6(2/4√108)z=2√59
最初の式は,3a+4b+6c=2√59,ですね (^^;

たけちゃん  
No title

荒っぽい議論ですが...

正三角形,正方形,正六角形の周長を順にl[1],l[2],l[3],
それぞれの中心から各辺に下ろした垂線の長さを順に d[1],d[2],d[3],
面積を順にS[1],S[2],S[3]とすると,
l[k]を微小量hだけ増加させるとき,面積S[k]の増加分はd[k]h/2となりますね.

例えばd[1]>d[2]であれば,l[1]を減少させ,
その分l[2]を増加させて,面積の和を減らすことができます.

つまり,面積が最小となることがあるとすれば,それは
d[1]=d[2]=d[3] のときに限り,そのとき,辺の長さの比は
tan60°:tan45°:tan30°=3:√3:1となります.

このように考えれば,辺の長さの比がきれいになるのも
うなづけるように思います.
例えば,円が含まれていても,
(「辺の長さ」とは言えないと思いますが)
同様に考察ができます.

uch*n*an  
No title

なるほど! たけちゃんさん,面白い考察をありがとうございます。
直感的な議論ですが,これを踏まえれば,簡単に答えは出せますね。

樹☆  
No title

こんばんは。
今日もクリスマスローズですね。。
寒い日でも華やかでいいですね。。ナイスです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
クリスマスローズは、本当に色も咲き方も様々。
値段は一般に高価ですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
また、クリスマスローズについていろいろ調べて頂き、有難う御座います。
クリスマスの時期に見たことのない私には、この名前の意味が分かりませんでした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
コーシー・シュワルツの不等式は便利なことが多いです。
2変数だと、2次関数で簡単に処理できますので、
3変数以上で値打ちが分かります。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
クリスマスローズは高価ですよね。
育てる時の注意として、「盗難に注意」というのを見たことがあります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
クリスマスローズも新潟市特産ですか。
チューリップもクリスマスローズもいい花ですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
たけちゃんさんの考察はおもしろいですねぇ☆
よくわかってないけど...^^;
ここに円が加わると...周長の長さの比は...9:4√3:6:π√3
になるわけですね ^^;v
無理矢理辺の比にしたら...どうなるんだろ?...0...^^;

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
コーシー・シュワルツの不等式は、
ベクトルでは、|a|²|b|²≧(a・b)² で表されます。
どちらかが使えれば、他方も比較的簡単に習得できると思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントとミスの指摘を有難う御座います。
文字のミスを早速訂正いたしました。
最小値を与える辺の長さの比は、たけちゃんさんのコメントで私も納得できました。
私は、円と正方形のとき、π:4 になるのを知って、この問題を思いつきました。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、貴重な考察を有難う御座います。
内接円の半径が等しいときに面積が最小になるという結果は記憶に残り易いです。
参考として本文に付け加えました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難う御座います。
寒い日が続きますが、ここのところ寒さがちょっと和らいでいます。
クリスマスローズ、華やかに咲いてくれていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、再度のコメントを有難う御座います。
周長の比はその通りですね。
円があると辺の比にはできませんね。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
独特な色ですね(o^-^o)
いろんな色がありますね♪ナイス!

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
クリスマスローズはいろんな色があって、個性を主張しているように思えます。