[答535] ガウス記号を含む方程式

[答535] ガウス記号を含む方程式


　ガウス記号を含む x の方程式 x²－x[x]－[x]＝0 の解を小さい順に並べると 11番目は？


[解答]

　x²－x[x]－[x]＝0 より －(x＋1)[x]＝－x² 、

　x＝－1 のとき成り立たないから、(x＋1)で割って、－[x]＝－x²/(x＋1) 、

　x－[x]＝x－x²/(x＋1)＝x/(x＋1)＝1－1/(x＋1) だから、

　0≦1－1/(x＋1)＜1 、0＜1/(x＋1)≦1 、x＋1≧1 、x≧0 です。

　[x]＝n (n＝0，1，2，3，……) とおけば、x²－x[x]－[x]＝0 より、

　x²－nx－n＝0 、x≧0 だから、x＝{n＋√(n²＋4n)}/2 です。

　ここで、n≦√(n²＋4n)＜n＋2 より 2n≦n＋√(n²＋4n)＜2n＋2 、n≦{n＋√(n²＋4n)}/2＜n＋1 だから、

　x＝{n＋√(n²＋4n)}/2 は [x]＝n を満たします。

　小さい方から 11番目は n＝10 のときで、x＝(10＋√140)/2＝5＋√35 です。


☆ グラフは 緑が y＝x－[x] ，赤が y＝1－1/(x＋1) で、青は赤の漸近線 y＝1，x＝－1 です。

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