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[答539] 円の接線と三角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答539] 円の接線と三角形の面積


 図のように、半径が 6 と 42 の円があって、中心間の距離は 85 です。

 この2つの円の2本の共通外接線と、共通内接線のうちの1本でできる三角形の面積は?

 図は正確ではありません。


[解答1]

 共通外接線の交点をA,共通外接線と共通内接線の交点の大円に近いほうをB,小円に近いほうをC とし、

 直線ACと小円の接点をP,大円の接点をQ,直線ABと大円の接点をR,線分BCと大円の接点をT とします。

 PQ2=852-(42-6)2=852-362=(85+36)(85-36)=121・49 より、PQ=11・7=77 になります。

 また、PQ:AQ=(42-6):42 、77:AQ=6:7 、6・AQ=539 です。

 求めるのは △ABCの面積で、その内接円の半径が 6、

 その3辺の長さの和は、AC+CT+AB+BT=AC+CQ+AB+BR=AQ+AR=2・AQ だから、

 △ABC=(2・AQ)・6/2=6・AQ=539 です。


[解答2]

 2円を座標平面上に置き、半径が 6 の円の中心を(0,0),半径が 42 の円の中心を(0,85)とします。

 共通接線を y=mx+n とすると、

 mx-y+n=0 と (0,0) の距離は、|n|/√(m2+1)=6 、|n|/6=√(m2+1) 、

 mx-y+n=0 と (0,85) の距離は、|n-85|/√(m2+1)=42 、(85-n)/42=√(m2+1) 、

 よって、 |n|/6=(85-n)/42 、 7|n|+n=85 になります。

 また、m2=(|n|/6+1)(|n|/6-1) になります。

 n<0 のとき、y=mx+n は共通外接線で、-6n=85 、n=-85/6 で、

  m2=(|n|/6+1)(|n|/6-1)=(-85/36+1)(-85/36-1)=(-49/36)(-121/36)

  m=±7・11/36=±77/36 になり、共通外接線は y=±(77/36)x-85/6 です。

 n>0 のとき、y=mx+n は共通内接線で、8n=85 、n=85/8 で、

  m2=(|n|/6+1)(|n|/6-1)=(85/48+1)(85/48-1)=(133/48)(37/48)

  m>0 とすれば、m=(√4921)/48 になり、共通内接線の1本は y={(√4921)/48}x+85/8 です。

 共通内接線と共通外接線の切片の差は、85/8+85/6=85・7/24 で、これを底辺として、

 求める三角形を y軸の左右の2つに分けてその面積の和を求めます。

 y=(77/36)x-85/6 と y={(√4921)/48}x+85/8 を連立させて、

  (77/36)x-85/6={(√4921)/48}x+85/8 、308x-85・24=3(√4921)x+85・18 、

  {308-3(√4921)}x=85・42 、x=85・42{308+3(√4921)}/50575=42{308+3(√4921)}/595 、

 よって、x>0 の部分の面積は、(1/2)(85・7/24)・42{308+3(√4921)}/595=(7/8){308+3(√4921)} です。

 y=-(77/36)x-85/6 と y={(√4921)/48}x+85/8 を連立させて、

  -(77/36)x-85/6={(√4921)/48}x+85/8 、-308x-85・24=3(√4921)x+85・18 、

  -{308+3(√4921)}x=85・42 、-x=85・42{308-3(√4921)}/50575=42{308-3(√4921)}/595 、

 よって、x<0 の部分の面積は、(1/2)(85・7/24)・42{308-3(√4921)}/595=(7/8){308-3(√4921)} です。

 求める面積は、 (7/8){308+3(√4921)}+(7/8){308-3(√4921)}=2(7/8)・308=539 です。


☆ 円の半径を R,r (R>r)、中心間の距離を d とすれば、

 三角形の面積は Rr√{d2-(R-r)2}/(R-r) になります。

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Comments 20

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古い人  
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うわー絵に書いた様ですね。

柄も色も綺麗過ぎて不思議な感じですね。
造花みたいですナイス。

樹☆  
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おはようございます。。
おおっ!!と声がでるほど鮮やかでインパクトのある
色合いですね。。
性格はきっと負けず嫌いの花かな。。笑
ナイスです。

こっこちゃん  
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おはようございます

↑の方とコメント 同じです (笑)

初めて見る花で 驚きの 一言ですね” ナイス

ニリンソウ  
No title

やどかりさん、この絞りは初めてだわ!

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
[解答1]は気づきませんでした...^^;
スマートね☆
わたしゃ...[解法2]のような地獄の計算をしてしかも間違いに気づけず...死にそうになりましたぁ...^^;;...Orz~

uch*n*an  
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これは,[解答1]のように気付けば簡単ですが,気付かないと計算が大変そうな問題でした。
私の解法は二つ+α。
+αは(解法2)の改良版です。なお,どうせなので文字で一般的に解きました。
(解法1)は,相似と三平方の定理の繰り返しの単純な初等幾何の解法です。
多分,[解答2]と等価なんだろうとは思うものの,文字を使ったせいか,初等幾何のせいか,
少し計算が面倒とはいえ見通しがよく,軽いジョギング程度で済み,むしろ心地よいぐらいでした。
[解答2]は何か凄まじいですね...
(解法2)の改良版は[解答1]と同じでした。
(解法2)も[解答1]と同じですが,PC = BT を示す方針だったため,若干回り道をした感じです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
これもそうです。本当にいろんな色の花弁があるものです。
もっと接写すると分かりませんね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
花弁の模様が面白いですね。種類が多い花は楽しめます。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
これは見方によっては着物の柄のようです。
言われてみれば不思議です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
確かにインパクトがあります。
負けず嫌いかどうかは分かりませんでした。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
私も初めて見たのかも知れません。
種類が多いのでこんな模様もあるんだ~と、何気なく撮りました。

tsuyoshik1942  
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図形的解法があるはずと思い、何度か挑戦したのですが「解答1」の
>その3辺の長さの和は、AC+CT+AB+BT=AC+CQ+AB+BR=AQ+AR=2・AQ
に考えが思い至りませんでした。

「解法2」で整数の答を得たので、文字でも出来るはずと思い、一般解に挑戦し、結果、意味ありげな式が得られたので、図形的解法があるはずと何度も挑戦したのですが、これは挫折しました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
染色した布のような柄ですね。
いろいろあるものです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
[解答2]のような計算を最後まで間違えずに計算するのは大変なことです。
解く時の工夫が計算を節約できる問題でした。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
[解答1][解答2]の計算量の違いを示す解答説明を予定した問題です。
案の定、[解答2]と同等な解き方で、かなり苦労された方が何人かおられました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
三角形の面積の一般化は、貴殿も書かれておられましたが、
[解答1]のように解けば、容易に求められます。

さっちゃんこ  
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こんばんは
とても珍しいプリムラ・ジュリアンですね
こんな風に縦になった模様のものは観たことがないです
色合いも紫に黄色白ととても綺麗ですね ナイス☆

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
この模様は面白いですね。
いろんな花がいろんな姿を見せてくれるのは嬉しいことです。

たけちゃん  
No title

遅いコメントで失礼します.

この問題は,内接円と1つの傍接円について,中心間距離と半径を与えられて
面積を求める問題でした.
その観点で見れば,図のAQが,三角形の周長の半分であることは,
けっこうあちこちで採り上げられているようで,
実は有名なのかもしれません.(私は知らなかったですが)

∠BAC=2θとすれば,面積は,
AQ・r=(R/tanθ)r=Rr・√(1/sin^2 θ-1)
=Rr√(d^2/(R-r)^2-1)
となりますね.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難う御座います。
> 図のAQが,三角形の周長の半分であることは,
> けっこうあちこちで採り上げられているようで,
> 実は有名なのかもしれません.
私もその事実は意識していませんでしたが、
この手の問題は2つの接点までの距離が等しいことを組み合わせると、
上手く解けることを経験的に知っていました。
この問題を作って、後でそれを意識して解くと上手く解けました。