[答539] 円の接線と三角形の面積

[答539] 円の接線と三角形の面積


　図のように、半径が 6 と 42 の円があって、中心間の距離は 85 です。

　この２つの円の２本の共通外接線と、共通内接線のうちの１本でできる三角形の面積は？

　図は正確ではありません。


[解答1]

　共通外接線の交点をA，共通外接線と共通内接線の交点の大円に近いほうをB，小円に近いほうをC とし、

　直線ACと小円の接点をP，大円の接点をQ，直線ABと大円の接点をR，線分BCと大円の接点をT とします。

　PQ²＝85²－(42－6)²＝85²－36²＝(85＋36)(85－36)＝121･49 より、PQ＝11･7＝77 になります。

　また、PQ：AQ＝(42－6)：42 、77：AQ＝6：7 、6･AQ＝539 です。

　求めるのは △ABCの面積で、その内接円の半径が 6、

　その３辺の長さの和は、AC＋CT＋AB＋BT＝AC＋CQ＋AB＋BR＝AQ＋AR＝2･AQ だから、

　△ABC＝(2･AQ)･6/2＝6･AQ＝539 です。


[解答2]

　２円を座標平面上に置き、半径が 6 の円の中心を(0，0)，半径が 42 の円の中心を(0，85)とします。

　共通接線を y＝mx＋n とすると、

　mx－y＋n＝0 と (0，0) の距離は、|n|/√(m²＋1)＝6 、|n|/6＝√(m²＋1) 、

　mx－y＋n＝0 と (0，85) の距離は、|n－85|/√(m²＋1)＝42 、(85－n)/42＝√(m²＋1) 、

　よって、 |n|/6＝(85－n)/42 、 7|n|＋n＝85 になります。

　また、m²＝(|n|/6＋1)(|n|/6－1) になります。

　n＜0 のとき、y＝mx＋n は共通外接線で、－6n＝85 、n＝－85/6 で、

　 m²＝(|n|/6＋1)(|n|/6－1)＝(－85/36＋1)(－85/36－1)＝(－49/36)(－121/36)

　 m＝±7･11/36＝±77/36 になり、共通外接線は y＝±(77/36)x－85/6 です。

　n＞0 のとき、y＝mx＋n は共通内接線で、8n＝85 、n＝85/8 で、

　 m²＝(|n|/6＋1)(|n|/6－1)＝(85/48＋1)(85/48－1)＝(133/48)(37/48)

　 m＞0 とすれば、m＝(√4921)/48 になり、共通内接線の１本は y＝{(√4921)/48}x＋85/8 です。

　共通内接線と共通外接線の切片の差は、85/8＋85/6＝85･7/24 で、これを底辺として、

　求める三角形を y軸の左右の２つに分けてその面積の和を求めます。

　y＝(77/36)x－85/6 と y＝{(√4921)/48}x＋85/8 を連立させて、

　 (77/36)x－85/6＝{(√4921)/48}x＋85/8 、308x－85･24＝3(√4921)x＋85･18 、

　 {308－3(√4921)}x＝85･42 、x＝85･42{308＋3(√4921)}/50575＝42{308＋3(√4921)}/595 、

　よって、x＞0 の部分の面積は、(1/2)(85･7/24)･42{308＋3(√4921)}/595＝(7/8){308＋3(√4921)} です。

　y＝－(77/36)x－85/6 と y＝{(√4921)/48}x＋85/8 を連立させて、

　 －(77/36)x－85/6＝{(√4921)/48}x＋85/8 、－308x－85･24＝3(√4921)x＋85･18 、

　 －{308＋3(√4921)}x＝85･42 、－x＝85･42{308－3(√4921)}/50575＝42{308－3(√4921)}/595 、

　よって、x＜0 の部分の面積は、(1/2)(85･7/24)･42{308－3(√4921)}/595＝(7/8){308－3(√4921)} です。

　求める面積は、 (7/8){308＋3(√4921)}＋(7/8){308－3(√4921)}＝2(7/8)･308＝539 です。


☆ 円の半径を R，r (R＞r)、中心間の距離を d とすれば、

　三角形の面積は Rr√{d²－(R－r)²}/(R－r) になります。

.