[答540] ７つの角の和

[答540] ７つの角の和


　図０のように、A，B，C，D，E，F，G，A の順につなぐと凸七角形になるような、

　同一平面上の７点 A，B，C，D，E，F，G があります。

　図０～図３のような、７つのどの点も他の２点と線分で結ばれている図は全部で 465個できます。

　( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-1354.html を参照)

　この 465個の図において、劣角を ∠A，∠B，∠C，∠D，∠E，∠F，∠G とするとき、

(1) 図３において、∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝？

(2) ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G が図３の場合と等しくなるのは図３を含めて何個？

　ただし、図１，図２のように、和が定まらないものについては除外します。


[解答]

(1) DEを結ぶと ∠C＋∠F＝∠CED＋∠FDE になるので、

　７つの角の和は 五角形ABDEGの内角の和と等しく、540ﾟ です。

　右端の図のように、左回りで全部の線分を通ってもとに戻る道順を考えれば、

　方向を変える青色で示された角度は２周分だから、

　赤の角の和は、7･180ﾟ－2･360ﾟ＝540ﾟ としても求められます。

(2) 図３，図４，図５，図６は回転した形を考えると７個ずつ、図７の場合が１個、

　図８，図９のように三角形と四角形に分かれるものが ₇Ｃ₃＝35 個、

　よって、7･4＋1＋35＝64 個です。


[参考] たけちゃんさんのコメントより

　ｎ点(n≧5)に対し，角の和が 180ﾟ･(n－4) の問題に一般化してみます．

　まず，すべての点がループを作る場合の数Nを考察します．

　1つの頂点をOと名付け，そこから反時計回りに 1，2，……，n－1 と点に名前を付けます．

　すべての点のループで条件を満たすのは，

　向きの変化が常に同じ回り方(左回りとしてよい)で，その合計が 720ﾟ のとき．

　これは，Oから出発して，いくつかの頂点を1周目として左回りに順にたどり，

　残りの頂点を2周目として順にたどる経路である．

　ただし，常に左回りより，次の条件を満たす．

　 (ⅰ) １周目の頂点は２つ以上 (１周目の最後以外の頂点で左回りを保証)

　 (ⅱ) ２周目の頂点は２つ以上 (２周目の最初以外の頂点で左回りを保証)

　 (ⅲ) １周目の最初の頂点は２周目の最後の頂点より前 (頂点Oで左回りを保証)

　 (ⅳ) ２周目の最初の頂点は１周目の最後の２つの頂点より前 (１周目の最後の頂点で左回りを保証)

　 (ⅴ) ２周目の最初の２つの頂点は１周目の最後の頂点より前 (２周目の最初の頂点で左回りを保証)

　全体集合 Ｕ＝｛1，2，……，n－1｝に対し，Ｕの部分集合Ａを１周目にたどる点全体の集合とする．

　Ｕの部分集合の総数 2^n-1 から除外される部分集合Ａは，

　 ・(ⅰ),(ⅱ)の条件から，_n-1Ｃ₀＋_n-1Ｃ₁＋_n-1Ｃ_n-2＋_n-1Ｃ_n-1＝2n 通り

　 ・(ⅲ)の条件から，k＝2 ～ k＝n－3 として Ａ＝｛x｜k＜x｝ の n－4 通り

　 ・(ⅳ),(ⅴ)の条件から，Ａの要素数 k＝2 ～ k＝n－3 に対し，

　 　Ａ＝｛x｜x＜k｝∪｛m｝ (m＝k ～ m＝n－1) の n－k 通りと

　 　Ａ＝｛x｜x＜m｝∪｛x｜m＜x≦k＋1｝ (m＝1 ～ m＝k－1) の k－1 通り

　 　となり，合計 (n－4)(n－1) 通り

　だけなので，N＝2^n-1－2n－(n－4)－(n－4)(n－1)＝2^n-1－n²＋2n.

　次に，全体で1つのループを作る場合以外を考えます．

　２つのループに分かれ，それぞれが(凸)多角形を作る場合，すなわち

　{O，1，2，……，n－1} を要素数がともに３以上の２つに分割する仕方なので，場合の数は，

　(2ⁿ－_nＣ₀－_nＣ₁－_nＣ₂－_nＣ_n-2－_nＣ_n-1－_nＣ_n)/2＝2^n-1－n²/2－n/2－1

　まとめると，一般化した問題に対する場合の数は， 2ⁿ－3n²/2＋3n/2－1 です．

　具体的には，n＝5，6，7，8，9 に対して順に，場合の数は 1，18，64，171，403 となります．

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