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[答541] 2つの円の交点を通る直線

ヤドカリ

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[答541] 2つの円の交点を通る直線



 xy平面上に3つの円A,B,Cがあり、

 円A,Bの2つの交点を通る直線は 6x+2y+3=0 ,円A,Cの2つの交点を通る直線は 4x+6y-1=0 です。

 また、円B,Cの2つの交点のうち1つは(3,-4)です。

 このとき、円B,Cの2つの交点を通る直線の方程式は?


[解答]

 円A,B,Cの方程式をそれぞれ、

 x2+y2+a1x+a2y+a3=0,x2+y2+b1x+b2y+b3=0,x2+y2+c1x+c2y+c3=0 とします。

 円A,Bの2つの交点を通る直線は (a1-b1)x+(a2-b2)y+(a3-b3)=0 ,  

 円A,Cの2つの交点を通る直線は (a1-c1)x+(a2-c2)y+(a3-c3)=0 です。

 この2直線が交わる場合、交点を(p,q)とすれば、

 (a1-b1)p+(a2-b2)q+(a3-b3)=0 ,(a1-c1)p+(a2-c2)q+(a3-c3)=0 となり、

 辺々減じて、(c1-b1)p+(c2-b2)q+(c3-b3)=0 です。

 よって、交点(p,q)は 円B,Cの2つの交点を通る直線 (b1-c1)x+(b2-c2)y+(b3-c3)=0 上にあります。

 従って、2直線 6x+2y+3=0 ,4x+6y-1=0 の交点と点(3,-4)を通る直線が答えになります。

 求める直線を (6x+2y+3)+k(4x+6y-1)=0 とすれば、点(3,-4)を通るから、

 13-13k=0 、k=1 となって、 (6x+2y+3)+(4x+6y-1)=0 、10x+8y+2=0 、5x+4y+1=0 です。


[背景]

 中心がOで半径がrの円と点Pにおいて、Pを通る直線と円Oの交点をQ,Rとすれば PQ・PR の値は一定です。

 ( ただし、点Pが円Oの内部にあるときは PQ,PR の向きが逆ですので PQ・PR<0 とします )

 直線OPと円の交点をS,Tとすれば、PQ・PR=PS・PT=(PO+r)(PO-r)=PO2-r2 だからです。

 この値を「点Pの円Oに関する方べき」といいます。

 なお、O(a,b),P(p,q)とすれば、円Oは (x-a)2+(y-b)2-r2=0 で、PO2-r2=(p-a)2+(q-b)2-r2 だから、

 円Oが x2+y2+cx+dy+e=0 であれば、PO2-r2=p2+q2+cp+dq+e です。

 以下、点Pの円Oに関する方べきを f(P,O) で表すことにします。

 2つの円A,Bが2点で交わるとき、この2交点を通る直線をLとするとき、

 L上の点をPとすれば、f(P,A)=f(P,B) で、L上にない(赤い)点をPとすれば、f(P,A)≠f(P,B) です。

 よって、f(P,A)=f(P,B) を満たす点Pの軌跡がLということになります。

 なお、2つの円A,Bの共有点の有無にかかわらず、

 f(P,A)=f(P,B) を満たす点Pの軌跡を2つの円A,Bの「根軸」といいます。

 円の方程式で考える場合は、2つの円の方程式から x2+y2 を消去したものが根軸です。

 2つの円が2点で交わる場合は2つの交点を通る直線が根軸です。

 ( 2つの円が接するときはその接点での接線が根軸です )

 円A,Bの根軸をL,円B,Cの根軸をM,円C,Aの根軸をNとし、

 L,Mが交わるときその交点をPとすれば、f(P,A)=f(P,B),f(P,B)=f(P,C) となり、

 f(P,A)=f(P,C) だから、PはN上にあることになり、3本の根軸は1点で交わります。

 ( 3本の根軸は1点で交わるか、3本とも平行です )

 従って、本問では、6x+2y+3=0 ,4x+6y-1=0 の交点と(3,-4)を通る直線を求めることになります。


☆ 円A,B,Cの例として、x2+y2+3y=0 ,x2+y2-6x+y-3=0 ,x2+y2+4x+9y-1=0 があります。

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Comments 20

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

しべも真っ白なんて珍しい水仙ですね
地ものらしいこちらはまだですよ

ナイス

樹☆  
No title

おはようございます。
汚れなきまっしろな水仙の花
美しいです。香りまで届きそう。。ナイスです

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

昨日”錦織公園に行って来ましたよ~♪
良いお天気で、今日はまた、雨で寒いです☂

水仙も、たくさん咲いてましたわ゜+.ヽ(❀ฺ◕ฺ‿ฺ◕ฺ)ノ.+゜

ナイス!☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
>L,Mが交わるときその交点をPとすれば、f(P,A)=f(P,B),f(P,B)=f(P,C) となり、f(P,A)=f(P,C) だから、PはN上にあることになり、3本の根軸は1点で交わります。

気づけず...^^;
勉強になりましたぁ☆ Orz~

uch*n*an  
No title

この問題は,[背景]を知っていれば難しくないでしょう。
というか,これを紹介する問題だったのでしょう。
もっとも,知らなくとも,[解答]のように考えればいいですね。
高校のときにこの事実に初めて気付き調べて本で確認して,
式と図形の融合の妙に心が踊ったものです。
私の解法は二つですが,どれほど図形を意識するかの違いだけで,同じ考え方でした。

uch*n*an  
No title

そうそう,[背景]の3行目
>直線CPと円の交点をS,Tとすれば、PQ・PR=PS・PT=(PO+r)(PO-r)=PO2-r2 だからです。
「直線CP」は「直線OP」ですね。

tsuyoshik1942  
No title

少し前の「537問」で根軸を勉強していたため、比較的スムーズにゴールできました。
でも、3本の根軸が一点で交わること、そして、この問題に関しては2本の直線の交点と(3,-4)点を結ぶ直線を求めれば事足りることには気づいておりませんでした。

たけちゃん  
No title

根軸の性質についての知識があったので,
当たり前のように解けてしまいました.
が,この問題では,円Aの自由度はとても高く,
直線l1: 6x+2y+3=0 と直線l2: 4x+6y-1=0
の両方と交わればほとんどそれでよいことになりますね.
(l1,l2の交点Xからの接線長が,
(3,-4)とXとの距離に等しいときだけは,
B,Cは(3,-4)で接し,不適ですが,それ以外の場合,)
Aとl1の2交点および(3,-4)を通る円をB,
Aとl2の2交点および(3,-4)を通る円をC
とさえすれば,B,Cの2交点を通る直線は一意に定まるわけで,
考えてみれば,すごいことの気がします.

なお,例示されている
A:(x+2)^2+(y+3)^2=13, B:(x-1)^2+(y+2)^2=8, C:(x+4)^2+(y+6)^2=53
はちょっとまずいと思います.
上の考察で言えば,「Aはl2と交わらないので不適」であり,
より直接には,(同じこととも言えますが,)2円A,Cは共有点をもたないと思われます.

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
真っ白な水仙 清純そのものですね
穢れなき真っ白の水仙ナイス☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
白い水仙は心なしか細身で清楚な感じがします。
気持ちが晴れれば幸いです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
ミントは入っていません(笑)が、スーッとすればいいですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
もう少し季節が進むといろんな種類の水仙が見られると思いますが、
真っ先に咲いてくれる水仙が嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
この白い水仙はやや珍しいですが、何ヶ所かで見ます。
美しい雪景色がない分、地ものは貴女に先んじて見られます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
貴女は白い花がお好きですね。
真っ白な水仙、お気に召しましたでしょうか?

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
錦織公園に行かれましたか。福寿草も見られたと思います。
明日、錦織公園で撮った水仙をアップする予定です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
3本の根軸は1点で交わること、不思議ですよね。
[背景]が分かっていても不思議です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントとミスの指摘を有難う御座います。
早速訂正させて頂きました。
なお、仰るように、この[背景]を紹介するための問題です。
「心が躍る」、私も知ったとき、まさにそのような状態でした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
根軸って不思議ですね。
まだ誰も知らないことが潜んでいるかも知れませんね。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントとミスの指摘を有難う御座います。
円については自由度があり、交わらなければ変えればいいと思っていたのですが、
最終チェックを怠り、失敗しました。
私は根軸もそうですが、
方べきが円の方程式から簡単に求められるという、
第一段階もすごいことだと思います。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
真っ白な花は同じ種類の花の中でも綺麗だと私は思います。
水仙に限らず、春を知らせてくれる花に特に感謝です。