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[答542] 隠れない部分の面積

ヤドカリ

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[答542] 隠れない部分の面積


 ∠C=90゚ の直角二等辺三角形ABCがあり、ACの中点をMとして、△MBCをBMで折り返します。

 折り返した三角形で隠れない部分の面積が 75 のとき、BC の長さは?


[解答1]

 折り返しで点C が点D に移動するものとし、ABとDMの交点をE,BMとCDの交点をF とします。

 また、A(0,2a),B(-2a,0),C(0,0) とすれば、M(0,a) です。

 tanθ=1/2 のとき tan2θ=(2tanθ)/(1-tan2θ)=(2・1/2)/(1-1/4)=4/3 だから、

 BDの傾きは 4/3 、DMの傾きは -3/4 、DM:y=-3x/4+a となり、

 AB:y=x+2a だから、-3x/4+a=x+2a として、x=-4a/7 、これが、Eのx座標です。

 よって、△AEM=a(4a/7)/2=2a2/7=75 、4a2=75・14 、2a=(5√3)(√14)=5√42 です。


[解答2]

 折り返しで点C が点D に移動するものとし、ABとDMの交点をE とします。

 △BMD=△BMA より隠れない部分の面積も等しく、△EDB=△EMA=75 です。

 ∠MBC=θ とすれば、tanθ=1/2 で、

 tan∠DBC=tan2θ=(2tanθ)/(1-tan2θ)=(2・1/2)/(1-1/4)=4/3 、

 tan∠EBD=tan(2θ-45゚)=(tan2θ-tan45゚)/(1+tan2θ・tan45゚)=(4/3-1)/(1+4/3)=1/7 だから、

 △EDB=(1/2)(1/7)BD2=75 、BD2=14・75 、BC=BD=(√14)・(5√3)=5√42 です。


[解答3]

 折り返しで点C が点D に移動するものとし、ABとDMの交点をE,BMとCDの交点をF とします。

 △BMD=△BMA より隠れない部分の面積も等しく、△EDB=△EMA=75 です。

 次に、MC=MD より DはACを直径とする円周上にあるので、∠CDA=90゚ 、

 斜辺と1つの鋭角が等しい三角形は合同だから、△DBF≡△CBF≡△ACD=4△MCF になり、

 △ABM=△MBC=△CBF+△MCF=5△MCF 、△ABD=3・4△MCF-2・5△MCF=2△MCF です。

 従って、DE:ME=△ABD:△ABM=2△MCF:5△MCF=2:5 、DE=(2/7)MD=(2/7)AC/2=BC/7 、

 △EDB=DE・DB/2=(BC/7)・BC/2=BC2/14=75 、BC2=14・75 、BC=(√14)・(5√3)=5√42 です。


[解答4] ふじもさんのコメントより

 折り返しで点C が点D に移動するものとし、ABとDMの交点をE,DMとBCの延長の交点をP とします。

 △PMC∽△PBD より PM:PB=PC:PD=MC:BD 、PM:PB=PC:(PM+MD)=1:2 、

 2PM=PB,2PC=PM+(PB-PC)/2 、4PC=PB+(PB-PC) 、PB/PC=5/2 です。

 △ABCと直線DPでメネラウスの定理より、

 (BE/EA)(AM/MC)(CP/PB)=1 、BE/EA=(MC/AM)(PB/CP)=5/2 、BE:EA=5:2 、

 よって、△AEM=(1/2)(2/7)△ABC/7=△ABC/7=BC2/14 、

 BC2/14=75 、BC2=14・75 、BC=(√14)・(5√3)=5√42 です。

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Comments 20

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古い人  
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私は始めて見る様ですね。

話には聞いたこと有りますが。
彩りも味もとても良い植物だそうですね。
ナイス。

アキチャン  
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おはようございます。
はじめて見ました!
肉厚なので、熱帯のものかしらとは思っておりましたがf(^。^;
答えがあると、ちょっと安心です(o^-^o)ナイス!

樹☆  
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おはようございます。
始めて見る果実です。検索したら原産はマレーシアと書いて
ありました。きれいな色で見るだけでも楽しいです。
お味は?

余談ですが「樹フトモモ」は大根です。笑

tsuyoshik1942  
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「解答4」もどきでした。PB/PCの求め方を少し遠回りしていましたが、自分なりにすっきりした解法感で答を得られたので、それで良しとしました。

ひとりしずか  
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実なんですね~確かにコマのような形してますね~

名前の通り水気が多く、薄い甘味と酸味があります。
歯ざわりは、リンゴにセロリの茎を足したよう・・・とか

花も見たいです・・

ナイス☆

ニリンソウ  
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花かと思ったらこれが果実?
柔らかそうな美味しそうなですね

ナイス

Yasuko  
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(σ≧∇≦)(σ≧∇≦)ノ『こんちわぁぁ』

レンブ~花の文化園で見ましたよ゜+.ヽ(❀ฺ◕ฺ‿ฺ◕ฺ)ノ.+゜
果実もシャリシャリしているようですよ!
花も花火のような綺麗なお花が咲きます(・∀・)✿

ナイス!☆

uch*n*an  
No title

これは,[解答1]や[解答2]のように tan の2倍角を使えば簡単ですが,
BC^2 から BC を求める以外は算数の範囲で解ける問題で,
[解答3]や[解答4]は算数解法といっていいでしょう。私も算数で解きました。
私の解法は三つ。ただ,[解答3]や[解答4]より遠回りをしたようです。
(解法1)は,[解答4]と同じアプローチですが,
途中に面積を経由し 3:4:5 の直角三角形を使いました。
[解答4]は三角関数の2倍角の公式の証明に使えますね。
(解法2)は,[解答3]と似たアプローチですが,
やはり面積を経由し 3:4:5 の直角三角形を使いました。
[解答3]は面積をうまく使っていますね。
(解法3)は,結果を知らないと気付きそうにない少しマニアックな解法で,
一辺 12 の正方形を,横に 4 個,縦に 3 個,長方形に並べ,長方形の対角線を引くと,
中央の辺りにこの問題の図と相似な図が得られることを利用する解法です。
個人的には,
[解答4]がスッキリしていて好きですが,[解答3]の面積の使い方は勉強になりました。

スモークマン  
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グーテンターク ^^
図形的に解けそうに思うも...よくわからず...^^;
リーサルウェポン(座標 ^^;)でねじ伏せましたぁ Orz...
tanの2倍角、面積、メネラウス(苦手なまんま ^^;)、の使用...いずれも勉強させていただきまっす☆

さっちゃんこ  
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こんばんは
ウォーターアップルですね
久しぶりに見ることが出来ました

ミズレンブという呼び名もあるのですね
ハナは目立たないハナだったと思いますが実がとても可愛いですね

ナイス☆

ヤドカリ  
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古い人さん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
味はわかりませんが、美味しいそうですね。
きれいに実っていました

ヤドカリ  
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アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
熱帯のフルーツは美味しそうなものが多いですね。
これも美味しいそうです。

ヤドカリ  
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樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
樹ちゃんのフトモモは大根のように白いのでしょうか?
それともおでんの大根のような色?

ヤドカリ  
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tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
スッキリした解答が分かれば嬉しいものですね。
このブログがそういう楽しみを与えられていたら幸いです。

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
花は時期が違いますので、この時は見られませんでした。
今度、花の時期に訪れた時、撮っておきますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難う御座います。
色は本当に花といっても可笑しくないような鮮やかなものでした。
味は分かりませんが、美味しそうでした。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
仰る通り、花の文化園で見ました。
花の時期にも行ったはずですが、見逃したようです。
今度は見たいと思います。

ヤドカリ  
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uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
マニアックな方法としては、
3,4,5の三角形とその内接円を描き内心と各頂点を結んだ図と、
この問題の図を見比べれば、ほとんど解けたようなものですが、
知っていないと使えない方法ですので避けました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
単純な図形で問題が出来ました。
単純な図形の中にもいろんな問題が埋もれているのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難う御座います。
ウォーターアップルとも言うのですか。
実は蝋細工のようにも見えました。芯もあって。